Algebra Esempi

$f (x) = (x^{2} + 9) (81 - x^{2})$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2} + 9$ e $g (x) = 81 - x^{2}$ .

$(x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [81 - x^{2}] + (81 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $81 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(x^{2} + 9) (\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (81 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $81$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $81$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x^{2} + 9) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (81 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Passaggio 1.1.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (81 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Passaggio 1.1.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{2} + 9) (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (81 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Passaggio 1.1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(x^{2} + 9) (- (2 x)) + (81 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Passaggio 1.1.2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$(x^{2} + 9) (- 2 x) + (81 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Passaggio 1.1.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(x^{2} + 9) (- 2 x) + (81 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 1.1.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(x^{2} + 9) (- 2 x) + (81 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 1.1.2.9

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x^{2} + 9) (- 2 x) + (81 - x^{2}) (2 x + 0)$

Passaggio 1.1.2.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$(x^{2} + 9) (- 2 x) + (81 - x^{2}) (2 x)$

Passaggio 1.1.2.10.2

Sposta $2$ alla sinistra di $81 - x^{2}$ .

$(x^{2} + 9) (- 2 x) + 2 \cdot (81 - x^{2}) x$

Passaggio 1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} (- 2 x) + 9 (- 2 x) + 2 (81 - x^{2}) x$

Passaggio 1.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} (- 2 x) + 9 (- 2 x) + (2 \cdot 81 + 2 (- x^{2})) x$

Passaggio 1.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} (- 2 x) + 9 (- 2 x) + 2 \cdot 81 x + 2 (- x^{2}) x$

Passaggio 1.1.3.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1.1

Sposta $x$ .

$x \cdot x^{2} \cdot - 2 + 9 (- 2 x) + 2 \cdot 81 x + 2 (- x^{2}) x$

Passaggio 1.1.3.4.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{1} x^{2} \cdot - 2 + 9 (- 2 x) + 2 \cdot 81 x + 2 (- x^{2}) x$

Passaggio 1.1.3.4.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{1 + 2} \cdot - 2 + 9 (- 2 x) + 2 \cdot 81 x + 2 (- x^{2}) x$

Passaggio 1.1.3.4.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$x^{3} \cdot - 2 + 9 (- 2 x) + 2 \cdot 81 x + 2 (- x^{2}) x$

Passaggio 1.1.3.4.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$- 2 \cdot x^{3} + 9 (- 2 x) + 2 \cdot 81 x + 2 (- x^{2}) x$

Passaggio 1.1.3.4.3

Moltiplica $- 2$ per $9$ .

$- 2 x^{3} - 18 x + 2 \cdot 81 x + 2 (- x^{2}) x$

Passaggio 1.1.3.4.4

Moltiplica $2$ per $81$ .

$- 2 x^{3} - 18 x + 162 x + 2 (- x^{2}) x$

Passaggio 1.1.3.4.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 x^{3} - 18 x + 162 x - 2 x^{2} x$

Passaggio 1.1.3.4.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 2 x^{3} - 18 x + 162 x - 2 (x^{1} x^{2})$

Passaggio 1.1.3.4.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 x^{3} - 18 x + 162 x - 2 x^{1 + 2}$

Passaggio 1.1.3.4.8

Somma $1$ e $2$ .

$- 2 x^{3} - 18 x + 162 x - 2 x^{3}$

Passaggio 1.1.3.4.9

Somma $- 18 x$ e $162 x$ .

$- 2 x^{3} + 144 x - 2 x^{3}$

Passaggio 1.1.3.4.10

Sottrai $2 x^{3}$ da $- 2 x^{3}$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 144 x$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 4 x^{3} + 144 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [144 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [144 x]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [144 x]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [144 x]$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$- 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [144 x]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [144 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $144$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $144 x$ rispetto a $x$ è $144 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 x^{2} + 144 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 12 x^{2} + 144 \cdot 1$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $144$ per $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 144$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 12 x^{2} + 144$ .

$- 12 x^{2} + 144$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- 12 x^{2} + 144 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- 12 x^{2} + 144 = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $144$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 12 x^{2} = - 144$

Passaggio 2.3

Dividi per $- 12$ ciascun termine in $- 12 x^{2} = - 144$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $- 12$ ciascun termine in $- 12 x^{2} = - 144$ .

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 144}{- 12}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 144}{- 12}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 144}{- 12}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi $- 144$ per $- 12$ .

$x^{2} = 12$

Passaggio 2.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{12}$

Passaggio 2.5

Semplifica $\pm \sqrt{12}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \pm \sqrt{4 (3)}$

Passaggio 2.5.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Passaggio 2.5.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm 2 \sqrt{3}$

Passaggio 2.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2 \sqrt{3}$

Passaggio 2.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2 \sqrt{3}$

Passaggio 2.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2 \sqrt{3}$ in $f (x) = (x^{2} + 9) (81 - x^{2})$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2 \sqrt{3}$ nell'espressione.

$f (2 \sqrt{3}) = ({(2 \sqrt{3})}^{2} + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{3}$ .

$f (2 \sqrt{3}) = (2^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

Passaggio 3.1.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2 \sqrt{3}) = (4 {\sqrt{3}}^{2} + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

Passaggio 3.1.2.1.3

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (2 \sqrt{3}) = (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

Passaggio 3.1.2.1.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

Passaggio 3.1.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

Passaggio 3.1.2.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

Passaggio 3.1.2.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3 + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

Passaggio 3.1.2.1.3.5

Calcola l'esponente.

$f (2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3 + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

Passaggio 3.1.2.1.4

Moltiplica $4$ per $3$ .

$f (2 \sqrt{3}) = (12 + 9) (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

Passaggio 3.1.2.2

Somma $12$ e $9$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - {(2 \sqrt{3})}^{2})$

Passaggio 3.1.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{3}$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (2^{2} {\sqrt{3}}^{2}))$

Passaggio 3.1.2.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 {\sqrt{3}}^{2}))$

Passaggio 3.1.2.3.3

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}))$

Passaggio 3.1.2.3.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}))$

Passaggio 3.1.2.3.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}))$

Passaggio 3.1.2.3.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}))$

Passaggio 3.1.2.3.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3))$

Passaggio 3.1.2.3.3.5

Calcola l'esponente.

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3))$

Passaggio 3.1.2.3.4

Moltiplica $- (4 \cdot 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.4.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - 1 \cdot 12)$

Passaggio 3.1.2.3.4.2

Moltiplica $- 1$ per $12$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 21 (81 - 12)$

Passaggio 3.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.4.1

Sottrai $12$ da $81$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 21 \cdot 69$

Passaggio 3.1.2.4.2

Moltiplica $21$ per $69$ .

$f (2 \sqrt{3}) = 1449$

Passaggio 3.1.2.5

La risposta finale è $1449$ .

$1449$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $2 \sqrt{3}$ in $f (x) = (x^{2} + 9) (81 - x^{2})$ è $(2 \sqrt{3}, 1449)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(2 \sqrt{3}, 1449)$

Passaggio 3.3

Sostituisci $- 2 \sqrt{3}$ in $f (x) = (x^{2} + 9) (81 - x^{2})$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2 \sqrt{3}$ nell'espressione.

$f (- 2 \sqrt{3}) = ({(- 2 \sqrt{3})}^{2} + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = ({(- 2)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

Passaggio 3.3.2.1.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = (4 {\sqrt{3}}^{2} + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

Passaggio 3.3.2.1.3

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

Passaggio 3.3.2.1.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

Passaggio 3.3.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

Passaggio 3.3.2.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- 2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

Passaggio 3.3.2.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- 2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3 + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

Passaggio 3.3.2.1.3.5

Calcola l'esponente.

$f (- 2 \sqrt{3}) = (4 \cdot 3 + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

Passaggio 3.3.2.1.4

Moltiplica $4$ per $3$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = (12 + 9) (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $12$ e $9$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - {(- 2 \sqrt{3})}^{2})$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Applica la regola del prodotto a $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - ({(- 2)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}))$

Passaggio 3.3.2.3.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 {\sqrt{3}}^{2}))$

Passaggio 3.3.2.3.3

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}))$

Passaggio 3.3.2.3.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}))$

Passaggio 3.3.2.3.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}))$

Passaggio 3.3.2.3.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}))$

Passaggio 3.3.2.3.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3))$

Passaggio 3.3.2.3.3.5

Calcola l'esponente.

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - (4 \cdot 3))$

Passaggio 3.3.2.3.4

Moltiplica $- (4 \cdot 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.4.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - 1 \cdot 12)$

Passaggio 3.3.2.3.4.2

Moltiplica $- 1$ per $12$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 (81 - 12)$

Passaggio 3.3.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.4.1

Sottrai $12$ da $81$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 21 \cdot 69$

Passaggio 3.3.2.4.2

Moltiplica $21$ per $69$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = 1449$

Passaggio 3.3.2.5

La risposta finale è $1449$ .

$1449$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $- 2 \sqrt{3}$ in $f (x) = (x^{2} + 9) (81 - x^{2})$ è $(- 2 \sqrt{3}, 1449)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 2 \sqrt{3}, 1449)$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(2 \sqrt{3}, 1449), (- 2 \sqrt{3}, 1449)$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 2 \sqrt{3}) \cup (- 2 \sqrt{3}, 2 \sqrt{3}) \cup (2 \sqrt{3}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3.56410161$ nell'espressione.

$f'' (- 3.56410161) = - 12 {(- 3.56410161)}^{2} + 144$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 3.56410161$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 3.56410161) = - 12 \cdot 12.70282032 + 144$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 12$ per $12.70282032$ .

$f'' (- 3.56410161) = - 152.43384387 + 144$

Passaggio 5.2.2

Somma $- 152.43384387$ e $144$ .

$f'' (- 3.56410161) = - 8.43384387$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 8.43384387$ .

$- 8.43384387$

Passaggio 5.3

Per $- 3.56410161$ , la derivata seconda è $- 8.43384387$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ .

Decrescente su $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 2 \sqrt{3}, 2 \sqrt{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = - 12 {(0)}^{2} + 144$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = - 12 \cdot 0 + 144$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 12$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 + 144$

Passaggio 6.2.2

Somma $0$ e $144$ .

$f'' (0) = 144$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $144$ .

$144$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $0$ , la derivata seconda è $144$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- 2 \sqrt{3}, 2 \sqrt{3})$ .

Crescente su $(- 2 \sqrt{3}, 2 \sqrt{3})$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2 \sqrt{3}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3.56410161$ nell'espressione.

$f'' (3.56410161) = - 12 {(3.56410161)}^{2} + 144$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $3.56410161$ alla potenza di $2$ .

$f'' (3.56410161) = - 12 \cdot 12.70282032 + 144$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 12$ per $12.70282032$ .

$f'' (3.56410161) = - 152.43384387 + 144$

Passaggio 7.2.2

Somma $- 152.43384387$ e $144$ .

$f'' (3.56410161) = - 8.43384387$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 8.43384387$ .

$- 8.43384387$

Passaggio 7.3

Per $3.56410161$ , la derivata seconda è $- 8.43384387$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(2 \sqrt{3}, \infty)$ .

Decrescente su $(2 \sqrt{3}, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(- 2 \sqrt{3}, 1449), (2 \sqrt{3}, 1449)$ .

$(- 2 \sqrt{3}, 1449), (2 \sqrt{3}, 1449)$

Passaggio 9