Algebra Esempi

$x^{2} \cos (y) + \sin (2 y) = x y$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (x^{2} \cos (y) + \sin (2 y)) = \frac{d}{d y} (x y)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} \cos (y) + \sin (2 y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x^{2} \cos (y)] + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} \cos (y)] + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d y} [x^{2} \cos (y)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = x^{2}$ e $g (y) = \cos (y)$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\cos (y)$ rispetto a $y$ è $- \sin (y)$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + \cos (y) \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + \cos (y) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + \cos (y) (2 u_{1} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + \cos (y) (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Passaggio 2.2.4

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + \cos (y) (2 x x') + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Passaggio 2.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (y)$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = \sin (y)$ e $g (y) = 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 y$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d y} [2 y]$

Passaggio 2.3.1.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + \cos (u_{2}) \frac{d}{d y} [2 y]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 y$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + \cos (2 y) \frac{d}{d y} [2 y]$

Passaggio 2.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + \cos (2 y) (2 \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + \cos (2 y) (2 \cdot 1)$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + \cos (2 y) \cdot 2$

Passaggio 2.3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 y)$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + 2 \cos (2 y)$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$- x^{2} \sin (y) + 2 x \cos (y) x' + 2 \cos (2 y)$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = x$ e $g (y) = y$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x + y \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$x + y x'$

Passaggio 3.4

Riordina i termini.

$y x' + x$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- x^{2} \sin (y) + 2 x \cos (y) x' + 2 \cos (2 y) = y x' + x$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Utilizza l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (2 x)$ in $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- x^{2} \sin (y) + 2 x \cos (y) x' + 2 (1 - 2 \sin^{2} (y)) = y x' + x$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Somma $x^{2} \sin (y)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x \cos (y) x' + 2 (1 - 2 \sin^{2} (y)) = y x' + x + x^{2} \sin (y)$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $2 (1 - 2 \sin^{2} (y))$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x \cos (y) x' = y x' + x + x^{2} \sin (y) - 2 (1 - 2 \sin^{2} (y))$

Passaggio 5.3

Sottrai $y x'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x \cos (y) x' - y x' = x + x^{2} \sin (y) - 2 (1 - 2 \sin^{2} (y))$

Passaggio 5.4

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Riordina i fattori in $2 x \cos (y) x' - y x'$ .

$2 x x' \cos (y) - y x' = x + x^{2} \sin (y) - 2 (1 - 2 \sin^{2} (y))$

Passaggio 5.5

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x x' \cos (y) - y x' = x + x^{2} \sin (y) - 2 \cdot 1 - 2 (- 2 \sin^{2} (y))$

Passaggio 5.5.1.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$2 x x' \cos (y) - y x' = x + x^{2} \sin (y) - 2 - 2 (- 2 \sin^{2} (y))$

Passaggio 5.5.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$2 x x' \cos (y) - y x' = x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)$

Passaggio 5.6

Risolvi l'equazione per $x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Scomponi $x'$ da $2 x x' \cos (y) - y x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1

Scomponi $x'$ da $2 x x' \cos (y)$ .

$x' (2 x \cos (y)) - y x' = x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)$

Passaggio 5.6.1.2

Scomponi $x'$ da $- y x'$ .

$x' (2 x \cos (y)) + x' (- y) = x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)$

Passaggio 5.6.1.3

Scomponi $x'$ da $x' (2 x \cos (y)) + x' (- y)$ .

$x' (2 x \cos (y) - y) = x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)$

Passaggio 5.6.2

Dividi per $2 x \cos (y) - y$ ciascun termine in $x' (2 x \cos (y) - y) = x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Dividi per $2 x \cos (y) - y$ ciascun termine in $x' (2 x \cos (y) - y) = x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)$ .

$\frac{x' (2 x \cos (y) - y)}{2 x \cos (y) - y} = \frac{x}{2 x \cos (y) - y} + \frac{x^{2} \sin (y)}{2 x \cos (y) - y} + \frac{- 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Passaggio 5.6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2 x \cos (y) - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' (2 x \cos (y) - y)}{2 x \cos (y) - y} = \frac{x}{2 x \cos (y) - y} + \frac{x^{2} \sin (y)}{2 x \cos (y) - y} + \frac{- 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Passaggio 5.6.2.2.1.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{x}{2 x \cos (y) - y} + \frac{x^{2} \sin (y)}{2 x \cos (y) - y} + \frac{- 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Passaggio 5.6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.3.1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x' = \frac{x}{2 x \cos (y) - y} + \frac{x^{2} \sin (y)}{2 x \cos (y) - y} - \frac{2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Passaggio 5.6.2.3.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x' = \frac{x + x^{2} \sin (y)}{2 x \cos (y) - y} - \frac{2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Passaggio 5.6.2.3.1.3

Scomponi $x$ da $x + x^{2} \sin (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.3.1.3.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x' = \frac{x^{1} + x^{2} \sin (y)}{2 x \cos (y) - y} - \frac{2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Passaggio 5.6.2.3.1.3.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$x' = \frac{x \cdot 1 + x^{2} \sin (y)}{2 x \cos (y) - y} - \frac{2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Passaggio 5.6.2.3.1.3.3

Scomponi $x$ da $x^{2} \sin (y)$ .

$x' = \frac{x \cdot 1 + x (x \sin (y))}{2 x \cos (y) - y} - \frac{2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Passaggio 5.6.2.3.1.3.4

Scomponi $x$ da $x \cdot 1 + x (x \sin (y))$ .

$x' = \frac{x (1 + x \sin (y))}{2 x \cos (y) - y} - \frac{2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Passaggio 5.6.2.3.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x' = \frac{x (1 + x \sin (y)) - 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Passaggio 5.6.2.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x' = \frac{x \cdot 1 + x (x \sin (y)) - 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Passaggio 5.6.2.3.2.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x' = \frac{x + x (x \sin (y)) - 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Passaggio 5.6.2.3.2.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.3.2.3.1

Sposta $x$ .

$x' = \frac{x + x \cdot x \sin (y) - 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Passaggio 5.6.2.3.2.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x' = \frac{x + x^{2} \sin (y) - 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Passaggio 5.6.2.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x' = \frac{x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$