Algebra Esempi

${(5 + 5 i)}^{4}$

Passaggio 1

Utilizza il teorema di sviluppo binomiale per trovare ogni termine. Il teorema binomiale stabilisce che ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(5)}^{4 - k} \cdot {(5 i)}^{k}$

Passaggio 2

Espandi la sommatoria.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(5)}^{4 - 0} \cdot {(5 i)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(5)}^{4 - 1} \cdot {(5 i)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(5)}^{4 - 2} \cdot {(5 i)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(5)}^{4 - 3} \cdot {(5 i)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(5)}^{4 - 4} \cdot {(5 i)}^{4}$

Passaggio 3

Semplifica gli esponenti di ciascun termine dell'espansione.

$1 \cdot {(5)}^{4} \cdot {(5 i)}^{0} + 4 \cdot {(5)}^{3} \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Passaggio 4

Semplifica il risultato del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica ${(5)}^{4}$ per $1$ .

${(5)}^{4} \cdot {(5 i)}^{0} + 4 \cdot {(5)}^{3} \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $4$ .

$625 \cdot {(5 i)}^{0} + 4 \cdot {(5)}^{3} \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.3

Applica la regola del prodotto a $5 i$ .

$625 \cdot (5^{0} i^{0}) + 4 \cdot {(5)}^{3} \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$625 \cdot (1 i^{0}) + 4 \cdot {(5)}^{3} \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.5

Moltiplica $i^{0}$ per $1$ .

$625 \cdot i^{0} + 4 \cdot {(5)}^{3} \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.6

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$625 \cdot 1 + 4 \cdot {(5)}^{3} \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.7

Moltiplica $625$ per $1$ .

$625 + 4 \cdot {(5)}^{3} \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.8

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$625 + 4 \cdot 125 \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.9

Moltiplica $4$ per $125$ .

$625 + 500 \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.10

Semplifica.

$625 + 500 \cdot (5 i) + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.11

Moltiplica $5$ per $500$ .

$625 + 2500 i + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.12

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$625 + 2500 i + 6 \cdot 25 \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.13

Moltiplica $6$ per $25$ .

$625 + 2500 i + 150 \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.14

Applica la regola del prodotto a $5 i$ .

$625 + 2500 i + 150 \cdot (5^{2} i^{2}) + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.15

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$625 + 2500 i + 150 \cdot (25 i^{2}) + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.16

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$625 + 2500 i + 150 \cdot (25 \cdot - 1) + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.17

Moltiplica $150 (25 \cdot - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.17.1

Moltiplica $25$ per $- 1$ .

$625 + 2500 i + 150 \cdot - 25 + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.17.2

Moltiplica $150$ per $- 25$ .

$625 + 2500 i - 3750 + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.18

Calcola l'esponente.

$625 + 2500 i - 3750 + 4 \cdot 5 \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.19

Moltiplica $4$ per $5$ .

$625 + 2500 i - 3750 + 20 \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.20

Applica la regola del prodotto a $5 i$ .

$625 + 2500 i - 3750 + 20 \cdot (5^{3} i^{3}) + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.21

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$625 + 2500 i - 3750 + 20 \cdot (125 i^{3}) + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.22

Metti in evidenza $i^{2}$ .

$625 + 2500 i - 3750 + 20 \cdot (125 (i^{2} \cdot i)) + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.23

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$625 + 2500 i - 3750 + 20 \cdot (125 (- 1 \cdot i)) + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.24

Riscrivi $- 1 i$ come $- i$ .

$625 + 2500 i - 3750 + 20 \cdot (125 (- i)) + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.25

Moltiplica $- 1$ per $125$ .

$625 + 2500 i - 3750 + 20 \cdot (- 125 i) + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.26

Moltiplica $- 125$ per $20$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.27

Moltiplica ${(5)}^{0}$ per $1$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.28

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + 1 \cdot {(5 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.29

Moltiplica ${(5 i)}^{4}$ per $1$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + {(5 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.30

Applica la regola del prodotto a $5 i$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + 5^{4} i^{4}$

Passaggio 4.1.31

Eleva $5$ alla potenza di $4$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + 625 i^{4}$

Passaggio 4.1.32

Riscrivi $i^{4}$ come $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.32.1

Riscrivi $i^{4}$ come ${(i^{2})}^{2}$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + 625 {(i^{2})}^{2}$

Passaggio 4.1.32.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + 625 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.1.32.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + 625 \cdot 1$

Passaggio 4.1.33

Moltiplica $625$ per $1$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + 625$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai $3750$ da $625$ .

$- 3125 + 2500 i - 2500 i + 625$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 3125$ e $625$ .

$- 2500 + 2500 i - 2500 i$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $2500 i$ da $2500 i$ .

$- 2500 + 0$

Passaggio 4.2.4

Somma $- 2500$ e $0$ .

$- 2500$