Algebra Esempi

$f (x) = x^{4} - 12 x^{3} + 46 x^{2} - 60 x + 25$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 12 x^{3} + 46 x^{2} - 60 x + 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [46 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [46 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [46 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [46 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [46 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 12$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [46 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [46 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $46$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $46 x^{2}$ rispetto a $x$ è $46 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 46 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 46 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $46$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 92 x + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 60 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 60$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 60 x$ rispetto a $x$ è $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 92 x - 60 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 92 x - 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $- 60$ per $1$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 92 x - 60 + \frac{d}{d x} [25]$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 92 x - 60 + 0$

Passaggio 1.5.2

Somma $4 x^{3} - 36 x^{2} + 92 x - 60$ e $0$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 92 x - 60$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} - 36 x^{2} + 92 x - 60$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [92 x] + \frac{d}{d x} [- 60]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (92 x) + \frac{d}{d x} (- 60)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (92 x) + \frac{d}{d x} (- 60)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (92 x) + \frac{d}{d x} (- 60)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (92 x) + \frac{d}{d x} (- 60)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 36 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (92 x) + \frac{d}{d x} (- 60)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} (92 x) + \frac{d}{d x} (- 60)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 36$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} (92 x) + \frac{d}{d x} (- 60)$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [92 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $92$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $92 x$ rispetto a $x$ è $92 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 92 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 60)$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 92 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 60)$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $92$ per $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 92 + \frac{d}{d x} (- 60)$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $- 60$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 60$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 92 + 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $12 x^{2} - 72 x + 92$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 92$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 92 x - 60 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [46 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Passaggio 4.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [46 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [46 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [46 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 12$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [46 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [46 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $46$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $46 x^{2}$ rispetto a $x$ è $46 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 46 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 46 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $46$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 92 x + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Passaggio 4.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 60 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- 60$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 60 x$ rispetto a $x$ è $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 92 x - 60 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 92 x - 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]$

Passaggio 4.1.4.3

Moltiplica $- 60$ per $1$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 92 x - 60 + \frac{d}{d x} [25]$

Passaggio 4.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 92 x - 60 + 0$

Passaggio 4.1.5.2

Somma $4 x^{3} - 36 x^{2} + 92 x - 60$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 92 x - 60$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{3} - 36 x^{2} + 92 x - 60$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 92 x - 60$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} - 36 x^{2} + 92 x - 60 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 92 x - 60 = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $4$ da $4 x^{3} - 36 x^{2} + 92 x - 60$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $4$ da $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 36 x^{2} + 92 x - 60 = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Scomponi $4$ da $- 36 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 92 x - 60 = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Scomponi $4$ da $92 x$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (23 x) - 60 = 0$

Passaggio 5.2.1.4

Scomponi $4$ da $- 60$ .

$4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (23 x) + 4 \cdot - 15 = 0$

Passaggio 5.2.1.5

Scomponi $4$ da $4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2})$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (23 x) + 4 \cdot - 15 = 0$

Passaggio 5.2.1.6

Scomponi $4$ da $4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (23 x)$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 23 x) + 4 \cdot - 15 = 0$

Passaggio 5.2.1.7

Scomponi $4$ da $4 (x^{3} - 9 x^{2} + 23 x) + 4 \cdot - 15$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 23 x - 15) = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $x^{3} - 9 x^{2} + 23 x - 15$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

Passaggio 5.2.2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

Passaggio 5.2.2.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 23 \cdot 1 - 15$

Passaggio 5.2.2.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$1 - 9 \cdot 1^{2} + 23 \cdot 1 - 15$

Passaggio 5.2.2.3.3

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$1 - 9 \cdot 1 + 23 \cdot 1 - 15$

Passaggio 5.2.2.3.4

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$1 - 9 + 23 \cdot 1 - 15$

Passaggio 5.2.2.3.5

Sottrai $9$ da $1$ .

$- 8 + 23 \cdot 1 - 15$

Passaggio 5.2.2.3.6

Moltiplica $23$ per $1$ .

$- 8 + 23 - 15$

Passaggio 5.2.2.3.7

Somma $- 8$ e $23$ .

$15 - 15$

Passaggio 5.2.2.3.8

Sottrai $15$ da $15$ .

$0$

Passaggio 5.2.2.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 23 x - 15}{x - 1}$

Passaggio 5.2.2.5

Dividi $x^{3} - 9 x^{2} + 23 x - 15$ per $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$23 x$

$15$

Passaggio 5.2.2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$23 x$	-	$15$

Passaggio 5.2.2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$23 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 5.2.2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$23 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 5.2.2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$23 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Passaggio 5.2.2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$23 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$23 x$

Passaggio 5.2.2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 8 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$23 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$23 x$

Passaggio 5.2.2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$23 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$

Passaggio 5.2.2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 8 x^{2} + 8 x$

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$23 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Passaggio 5.2.2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$23 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$15 x$

Passaggio 5.2.2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$23 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$15 x$	-	$15$

Passaggio 5.2.2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $15 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$15$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$23 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$15 x$	-	$15$

Passaggio 5.2.2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$15$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$23 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							+	$15 x$	-	$15$

Passaggio 5.2.2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $15 x - 15$

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$15$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$23 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	+	$15$

Passaggio 5.2.2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$15$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$23 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	+	$15$
										$0$

Passaggio 5.2.2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 8 x + 15$

Passaggio 5.2.2.6

Scrivi $x^{3} - 9 x^{2} + 23 x - 15$ come insieme di fattori.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 15)) = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Scomponi $x^{2} - 8 x + 15$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Scomponi $x^{2} - 8 x + 15$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $15$ e la cui somma è $- 8$ .

$- 5, - 3$

Passaggio 5.2.3.1.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$4 ((x - 1) ((x - 5) (x - 3))) = 0$

Passaggio 5.2.3.1.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 ((x - 1) (x - 5) (x - 3)) = 0$

Passaggio 5.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 (x - 1) (x - 5) (x - 3) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 5.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 5.5

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 5.5.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 5.6

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 5.6.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 5.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 (x - 1) (x - 5) (x - 3) = 0$ vera.

$x = 1, 5, 3$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 1, 5, 3$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 {(1)}^{2} - 72 \cdot 1 + 92$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$12 \cdot 1 - 72 \cdot 1 + 92$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $12$ per $1$ .

$12 - 72 \cdot 1 + 92$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $- 72$ per $1$ .

$12 - 72 + 92$

Passaggio 9.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Sottrai $72$ da $12$ .

$- 60 + 92$

Passaggio 9.2.2

Somma $- 60$ e $92$ .

$32$

Passaggio 10

$x = 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = {(1)}^{4} - 12 {(1)}^{3} + 46 {(1)}^{2} - 60 \cdot 1 + 25$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 1 - 12 {(1)}^{3} + 46 {(1)}^{2} - 60 \cdot 1 + 25$

Passaggio 11.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 1 - 12 \cdot 1 + 46 {(1)}^{2} - 60 \cdot 1 + 25$

Passaggio 11.2.1.3

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$f (1) = 1 - 12 + 46 {(1)}^{2} - 60 \cdot 1 + 25$

Passaggio 11.2.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 1 - 12 + 46 \cdot 1 - 60 \cdot 1 + 25$

Passaggio 11.2.1.5

Moltiplica $46$ per $1$ .

$f (1) = 1 - 12 + 46 - 60 \cdot 1 + 25$

Passaggio 11.2.1.6

Moltiplica $- 60$ per $1$ .

$f (1) = 1 - 12 + 46 - 60 + 25$

Passaggio 11.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Sottrai $12$ da $1$ .

$f (1) = - 11 + 46 - 60 + 25$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $- 11$ e $46$ .

$f (1) = 35 - 60 + 25$

Passaggio 11.2.2.3

Sottrai $60$ da $35$ .

$f (1) = - 25 + 25$

Passaggio 11.2.2.4

Somma $- 25$ e $25$ .

$f (1) = 0$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 5$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 {(5)}^{2} - 72 \cdot 5 + 92$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$12 \cdot 25 - 72 \cdot 5 + 92$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $12$ per $25$ .

$300 - 72 \cdot 5 + 92$

Passaggio 13.1.3

Moltiplica $- 72$ per $5$ .

$300 - 360 + 92$

Passaggio 13.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Sottrai $360$ da $300$ .

$- 60 + 92$

Passaggio 13.2.2

Somma $- 60$ e $92$ .

$32$

Passaggio 14

$x = 5$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 5$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f (5) = {(5)}^{4} - 12 {(5)}^{3} + 46 {(5)}^{2} - 60 \cdot 5 + 25$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $4$ .

$f (5) = 625 - 12 {(5)}^{3} + 46 {(5)}^{2} - 60 \cdot 5 + 25$

Passaggio 15.2.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$f (5) = 625 - 12 \cdot 125 + 46 {(5)}^{2} - 60 \cdot 5 + 25$

Passaggio 15.2.1.3

Moltiplica $- 12$ per $125$ .

$f (5) = 625 - 1500 + 46 {(5)}^{2} - 60 \cdot 5 + 25$

Passaggio 15.2.1.4

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (5) = 625 - 1500 + 46 \cdot 25 - 60 \cdot 5 + 25$

Passaggio 15.2.1.5

Moltiplica $46$ per $25$ .

$f (5) = 625 - 1500 + 1150 - 60 \cdot 5 + 25$

Passaggio 15.2.1.6

Moltiplica $- 60$ per $5$ .

$f (5) = 625 - 1500 + 1150 - 300 + 25$

Passaggio 15.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Sottrai $1500$ da $625$ .

$f (5) = - 875 + 1150 - 300 + 25$

Passaggio 15.2.2.2

Somma $- 875$ e $1150$ .

$f (5) = 275 - 300 + 25$

Passaggio 15.2.2.3

Sottrai $300$ da $275$ .

$f (5) = - 25 + 25$

Passaggio 15.2.2.4

Somma $- 25$ e $25$ .

$f (5) = 0$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = 3$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3 + 92$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$12 \cdot 9 - 72 \cdot 3 + 92$

Passaggio 17.1.2

Moltiplica $12$ per $9$ .

$108 - 72 \cdot 3 + 92$

Passaggio 17.1.3

Moltiplica $- 72$ per $3$ .

$108 - 216 + 92$

Passaggio 17.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Sottrai $216$ da $108$ .

$- 108 + 92$

Passaggio 17.2.2

Somma $- 108$ e $92$ .

$- 16$

Passaggio 18

$x = 3$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 3$ è un massimo locale

Passaggio 19

Trova il valore di y quando $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = {(3)}^{4} - 12 {(3)}^{3} + 46 {(3)}^{2} - 60 \cdot 3 + 25$

Passaggio 19.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$f (3) = 81 - 12 {(3)}^{3} + 46 {(3)}^{2} - 60 \cdot 3 + 25$

Passaggio 19.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (3) = 81 - 12 \cdot 27 + 46 {(3)}^{2} - 60 \cdot 3 + 25$

Passaggio 19.2.1.3

Moltiplica $- 12$ per $27$ .

$f (3) = 81 - 324 + 46 {(3)}^{2} - 60 \cdot 3 + 25$

Passaggio 19.2.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (3) = 81 - 324 + 46 \cdot 9 - 60 \cdot 3 + 25$

Passaggio 19.2.1.5

Moltiplica $46$ per $9$ .

$f (3) = 81 - 324 + 414 - 60 \cdot 3 + 25$

Passaggio 19.2.1.6

Moltiplica $- 60$ per $3$ .

$f (3) = 81 - 324 + 414 - 180 + 25$

Passaggio 19.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.1

Sottrai $324$ da $81$ .

$f (3) = - 243 + 414 - 180 + 25$

Passaggio 19.2.2.2

Somma $- 243$ e $414$ .

$f (3) = 171 - 180 + 25$

Passaggio 19.2.2.3

Sottrai $180$ da $171$ .

$f (3) = - 9 + 25$

Passaggio 19.2.2.4

Somma $- 9$ e $25$ .

$f (3) = 16$

Passaggio 19.2.3

La risposta finale è $16$ .

$y = 16$

Passaggio 20

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{4} - 12 x^{3} + 46 x^{2} - 60 x + 25$ .

$(1, 0)$ è un minimo locale

$(5, 0)$ è un minimo locale

$(3, 16)$ è un massimo locale

Passaggio 21