Algebra Esempi

$y = \ln (\frac{x^{4}}{x + 3})$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x^{4}}{x + 3}))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x^{4}}{x + 3}$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x^{4}}{x + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x + 3}]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x + 3}]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x^{4}}{x + 3}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{4}}{x + 3}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x + 3}]$

Passaggio 3.2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{x^{4}}{x + 3}$ .

$1 \frac{x + 3}{x^{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x + 3}]$

Passaggio 3.3

Moltiplica $\frac{x + 3}{x^{4}}$ per $1$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x + 3}]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x + 3$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Differenzia.

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Passaggio 3.5.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{(x + 3) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x + 3$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 \cdot (x + 3) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.5.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.5.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4} (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.5.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4} (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.5.6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.5.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4} \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.5.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4}}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.5.6.3

Moltiplica $\frac{x + 3}{x^{4}}$ per $\frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4}}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{(x + 3) (4 (x + 3) x^{3} - x^{4})}{x^{4} {(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.6.1

Scomponi $x + 3$ da $x^{4} {(x + 3)}^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (4 (x + 3) x^{3} - x^{4})}{(x + 3) (x^{4} (x + 3))}$

Passaggio 3.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 3) (4 (x + 3) x^{3} - x^{4})}{(x + 3) (x^{4} (x + 3))}$

Passaggio 3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4}}{x^{4} (x + 3)}$

Passaggio 3.7

Semplifica.

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Passaggio 3.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(4 x + 4 \cdot 3) x^{3} - x^{4}}{x^{4} (x + 3)}$

Passaggio 3.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} (x + 3)}$

Passaggio 3.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Passaggio 3.7.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.7.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.7.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.7.4.1.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3} x) + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Passaggio 3.7.4.1.1.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

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Passaggio 3.7.4.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Passaggio 3.7.4.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 x^{3 + 1} + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Passaggio 3.7.4.1.1.3

Somma $3$ e $1$ .

$\frac{4 x^{4} + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Passaggio 3.7.4.1.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{4 x^{4} + 12 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Passaggio 3.7.4.2

Sottrai $x^{4}$ da $4 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Passaggio 3.7.5

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.7.5.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.7.5.1.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ .

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Passaggio 3.7.5.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3}}{x^{4} x^{1} + x^{4} \cdot 3}$

Passaggio 3.7.5.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3}}{x^{4 + 1} + x^{4} \cdot 3}$

Passaggio 3.7.5.1.2

Somma $4$ e $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3}}{x^{5} + x^{4} \cdot 3}$

Passaggio 3.7.5.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3}}{x^{5} + 3 x^{4}}$

Passaggio 3.7.6

Scomponi $3 x^{3}$ da $3 x^{4} + 12 x^{3}$ .

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Passaggio 3.7.6.1

Scomponi $3 x^{3}$ da $3 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{3} (x) + 12 x^{3}}{x^{5} + 3 x^{4}}$

Passaggio 3.7.6.2

Scomponi $3 x^{3}$ da $12 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{3} (x) + 3 x^{3} (4)}{x^{5} + 3 x^{4}}$

Passaggio 3.7.6.3

Scomponi $3 x^{3}$ da $3 x^{3} (x) + 3 x^{3} (4)$ .

$\frac{3 x^{3} (x + 4)}{x^{5} + 3 x^{4}}$

Passaggio 3.7.7

Scomponi $x^{4}$ da $x^{5} + 3 x^{4}$ .

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Passaggio 3.7.7.1

Scomponi $x^{4}$ da $x^{5}$ .

$\frac{3 x^{3} (x + 4)}{x^{4} x + 3 x^{4}}$

Passaggio 3.7.7.2

Scomponi $x^{4}$ da $3 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{3} (x + 4)}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Passaggio 3.7.7.3

Scomponi $x^{4}$ da $x^{4} x + x^{4} \cdot 3$ .

$\frac{3 x^{3} (x + 4)}{x^{4} (x + 3)}$

Passaggio 3.7.8

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x^{4}$ .

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Passaggio 3.7.8.1

Scomponi $x^{3}$ da $3 x^{3} (x + 4)$ .

$\frac{x^{3} (3 (x + 4))}{x^{4} (x + 3)}$

Passaggio 3.7.8.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.7.8.2.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{4} (x + 3)$ .

$\frac{x^{3} (3 (x + 4))}{x^{3} (x (x + 3))}$

Passaggio 3.7.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{3} (3 (x + 4))}{x^{3} (x (x + 3))}$

Passaggio 3.7.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 (x + 4)}{x (x + 3)}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{3 (x + 4)}{x (x + 3)}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (x + 4)}{x (x + 3)}$