Algebra Esempi

${(z + 1)}^{6}$

Passaggio 1

Il triangolo di Tartaglia può essere visualizzato come segue:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

È possibile utilizzare il triangolo per calcolare i coefficienti dell'espansione di ${(a + b)}^{n}$ prendendo l'esponente $n$ e sommando $1$ . I coefficienti corrisponderanno alla linea $n + 1$ del triangolo. Per ${(z + 1)}^{6}$ , $n = 6$ in modo che i coefficienti dell'espansione corrispondano alla linea $7$ .

Passaggio 2

L'espansione segue la regola ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . I valori dei coefficienti dal triangolo sono $1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$ .

$1 a^{6} b^{0} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + 1 a^{0} b^{6}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori effettivi di $a$ $z$ e $b$ $1$ nell'espressione.

$1 {(z)}^{6} {(1)}^{0} + 6 {(z)}^{5} {(1)}^{1} + 15 {(z)}^{4} {(1)}^{2} + 20 {(z)}^{3} {(1)}^{3} + 15 {(z)}^{2} {(1)}^{4} + 6 {(z)}^{1} {(1)}^{5} + 1 {(z)}^{0} {(1)}^{6}$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $1$ per ${(1)}^{0}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sposta ${(1)}^{0}$ .

${(1)}^{0} \cdot 1 {(z)}^{6} + 6 {(z)}^{5} {(1)}^{1} + 15 {(z)}^{4} {(1)}^{2} + 20 {(z)}^{3} {(1)}^{3} + 15 {(z)}^{2} {(1)}^{4} + 6 {(z)}^{1} {(1)}^{5} + 1 {(z)}^{0} {(1)}^{6}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica ${(1)}^{0}$ per $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Eleva $1$ alla potenza di $1$ .

${(1)}^{0} \cdot 1^{1} {(z)}^{6} + 6 {(z)}^{5} {(1)}^{1} + 15 {(z)}^{4} {(1)}^{2} + 20 {(z)}^{3} {(1)}^{3} + 15 {(z)}^{2} {(1)}^{4} + 6 {(z)}^{1} {(1)}^{5} + 1 {(z)}^{0} {(1)}^{6}$

Passaggio 4.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1^{0 + 1} {(z)}^{6} + 6 {(z)}^{5} {(1)}^{1} + 15 {(z)}^{4} {(1)}^{2} + 20 {(z)}^{3} {(1)}^{3} + 15 {(z)}^{2} {(1)}^{4} + 6 {(z)}^{1} {(1)}^{5} + 1 {(z)}^{0} {(1)}^{6}$

Passaggio 4.1.3

Somma $0$ e $1$ .

$1^{1} {(z)}^{6} + 6 {(z)}^{5} {(1)}^{1} + 15 {(z)}^{4} {(1)}^{2} + 20 {(z)}^{3} {(1)}^{3} + 15 {(z)}^{2} {(1)}^{4} + 6 {(z)}^{1} {(1)}^{5} + 1 {(z)}^{0} {(1)}^{6}$

Passaggio 4.2

Semplifica $1^{1} {(z)}^{6}$ .

${(z)}^{6} + 6 {(z)}^{5} {(1)}^{1} + 15 {(z)}^{4} {(1)}^{2} + 20 {(z)}^{3} {(1)}^{3} + 15 {(z)}^{2} {(1)}^{4} + 6 {(z)}^{1} {(1)}^{5} + 1 {(z)}^{0} {(1)}^{6}$

Passaggio 4.3

Calcola l'esponente.

$z^{6} + 6 z^{5} \cdot 1 + 15 {(z)}^{4} {(1)}^{2} + 20 {(z)}^{3} {(1)}^{3} + 15 {(z)}^{2} {(1)}^{4} + 6 {(z)}^{1} {(1)}^{5} + 1 {(z)}^{0} {(1)}^{6}$

Passaggio 4.4

Moltiplica $6$ per $1$ .

$z^{6} + 6 z^{5} + 15 {(z)}^{4} {(1)}^{2} + 20 {(z)}^{3} {(1)}^{3} + 15 {(z)}^{2} {(1)}^{4} + 6 {(z)}^{1} {(1)}^{5} + 1 {(z)}^{0} {(1)}^{6}$

Passaggio 4.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$z^{6} + 6 z^{5} + 15 z^{4} \cdot 1 + 20 {(z)}^{3} {(1)}^{3} + 15 {(z)}^{2} {(1)}^{4} + 6 {(z)}^{1} {(1)}^{5} + 1 {(z)}^{0} {(1)}^{6}$

Passaggio 4.6

Moltiplica $15$ per $1$ .

$z^{6} + 6 z^{5} + 15 z^{4} + 20 {(z)}^{3} {(1)}^{3} + 15 {(z)}^{2} {(1)}^{4} + 6 {(z)}^{1} {(1)}^{5} + 1 {(z)}^{0} {(1)}^{6}$

Passaggio 4.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$z^{6} + 6 z^{5} + 15 z^{4} + 20 z^{3} \cdot 1 + 15 {(z)}^{2} {(1)}^{4} + 6 {(z)}^{1} {(1)}^{5} + 1 {(z)}^{0} {(1)}^{6}$

Passaggio 4.8

Moltiplica $20$ per $1$ .

$z^{6} + 6 z^{5} + 15 z^{4} + 20 z^{3} + 15 {(z)}^{2} {(1)}^{4} + 6 {(z)}^{1} {(1)}^{5} + 1 {(z)}^{0} {(1)}^{6}$

Passaggio 4.9

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$z^{6} + 6 z^{5} + 15 z^{4} + 20 z^{3} + 15 z^{2} \cdot 1 + 6 {(z)}^{1} {(1)}^{5} + 1 {(z)}^{0} {(1)}^{6}$

Passaggio 4.10

Moltiplica $15$ per $1$ .

$z^{6} + 6 z^{5} + 15 z^{4} + 20 z^{3} + 15 z^{2} + 6 {(z)}^{1} {(1)}^{5} + 1 {(z)}^{0} {(1)}^{6}$

Passaggio 4.11

Semplifica.

$z^{6} + 6 z^{5} + 15 z^{4} + 20 z^{3} + 15 z^{2} + 6 z {(1)}^{5} + 1 {(z)}^{0} {(1)}^{6}$

Passaggio 4.12

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$z^{6} + 6 z^{5} + 15 z^{4} + 20 z^{3} + 15 z^{2} + 6 z \cdot 1 + 1 {(z)}^{0} {(1)}^{6}$

Passaggio 4.13

Moltiplica $6$ per $1$ .

$z^{6} + 6 z^{5} + 15 z^{4} + 20 z^{3} + 15 z^{2} + 6 z + 1 {(z)}^{0} {(1)}^{6}$

Passaggio 4.14

Moltiplica $1$ per ${(1)}^{6}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.14.1

Sposta ${(1)}^{6}$ .

$z^{6} + 6 z^{5} + 15 z^{4} + 20 z^{3} + 15 z^{2} + 6 z + {(1)}^{6} \cdot 1 {(z)}^{0}$

Passaggio 4.14.2

Moltiplica ${(1)}^{6}$ per $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.14.2.1

Eleva $1$ alla potenza di $1$ .

$z^{6} + 6 z^{5} + 15 z^{4} + 20 z^{3} + 15 z^{2} + 6 z + {(1)}^{6} \cdot 1^{1} {(z)}^{0}$

Passaggio 4.14.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$z^{6} + 6 z^{5} + 15 z^{4} + 20 z^{3} + 15 z^{2} + 6 z + 1^{6 + 1} {(z)}^{0}$

Passaggio 4.14.3

Somma $6$ e $1$ .

$z^{6} + 6 z^{5} + 15 z^{4} + 20 z^{3} + 15 z^{2} + 6 z + 1^{7} {(z)}^{0}$

Passaggio 4.15

Semplifica $1^{7} {(z)}^{0}$ .

$z^{6} + 6 z^{5} + 15 z^{4} + 20 z^{3} + 15 z^{2} + 6 z + 1^{7}$

Passaggio 4.16

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$z^{6} + 6 z^{5} + 15 z^{4} + 20 z^{3} + 15 z^{2} + 6 z + 1$