Algebra Esempi

$2 x^{4} - 11 x^{3} + 26 x^{2} - 66 x + 84 = 0$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 7, \pm 12, \pm 14, \pm 21, \pm 28, \pm 42, \pm 84$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 4, \pm 6, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm 12, \pm 14, \pm 21, \pm \frac{21}{2}, \pm 28, \pm 42, \pm 84$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

$2 {(2)}^{4} - 11 {(2)}^{3} + 26 {(2)}^{2} - 66 \cdot 2 + 84$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = 2$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Moltiplica $2$ per ${(2)}^{4}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1.1.1

Moltiplica $2$ per ${(2)}^{4}$ .

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Passaggio 4.1.1.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$2^{1} {(2)}^{4} - 11 {(2)}^{3} + 26 {(2)}^{2} - 66 \cdot 2 + 84$

Passaggio 4.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2^{1 + 4} - 11 {(2)}^{3} + 26 {(2)}^{2} - 66 \cdot 2 + 84$

Passaggio 4.1.1.2

Somma $1$ e $4$ .

$2^{5} - 11 {(2)}^{3} + 26 {(2)}^{2} - 66 \cdot 2 + 84$

Passaggio 4.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$32 - 11 {(2)}^{3} + 26 {(2)}^{2} - 66 \cdot 2 + 84$

Passaggio 4.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$32 - 11 \cdot 8 + 26 {(2)}^{2} - 66 \cdot 2 + 84$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 11$ per $8$ .

$32 - 88 + 26 {(2)}^{2} - 66 \cdot 2 + 84$

Passaggio 4.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$32 - 88 + 26 \cdot 4 - 66 \cdot 2 + 84$

Passaggio 4.1.6

Moltiplica $26$ per $4$ .

$32 - 88 + 104 - 66 \cdot 2 + 84$

Passaggio 4.1.7

Moltiplica $- 66$ per $2$ .

$32 - 88 + 104 - 132 + 84$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $88$ da $32$ .

$- 56 + 104 - 132 + 84$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 56$ e $104$ .

$48 - 132 + 84$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $132$ da $48$ .

$- 84 + 84$

Passaggio 4.2.4

Somma $- 84$ e $84$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{2 x^{4} - 11 x^{3} + 26 x^{2} - 66 x + 84}{x - 2}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$2$	$2$	$- 11$	$26$	$- 66$	$84$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(2)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$2$	$2$	$- 11$	$26$	$- 66$	$84$

	$2$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(2)$ per il divisore $(2)$ e posiziona il risultato di $(4)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 11)$ .

$2$	$2$	$- 11$	$26$	$- 66$	$84$
		$4$
	$2$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$2$	$2$	$- 11$	$26$	$- 66$	$84$
		$4$
	$2$	$- 7$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 7)$ per il divisore $(2)$ e posiziona il risultato di $(- 14)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(26)$ .

$2$	$2$	$- 11$	$26$	$- 66$	$84$
		$4$	$- 14$
	$2$	$- 7$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$2$	$2$	$- 11$	$26$	$- 66$	$84$
		$4$	$- 14$
	$2$	$- 7$	$12$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(12)$ per il divisore $(2)$ e posiziona il risultato di $(24)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 66)$ .

$2$	$2$	$- 11$	$26$	$- 66$	$84$
		$4$	$- 14$	$24$
	$2$	$- 7$	$12$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$2$	$2$	$- 11$	$26$	$- 66$	$84$
		$4$	$- 14$	$24$
	$2$	$- 7$	$12$	$- 42$

Passaggio 6.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 42)$ per il divisore $(2)$ e posiziona il risultato di $(- 84)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(84)$ .

$2$	$2$	$- 11$	$26$	$- 66$	$84$
		$4$	$- 14$	$24$	$- 84$
	$2$	$- 7$	$12$	$- 42$

Passaggio 6.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$2$	$2$	$- 11$	$26$	$- 66$	$84$
		$4$	$- 14$	$24$	$- 84$
	$2$	$- 7$	$12$	$- 42$	$0$

Passaggio 6.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$2 x^{3} + - 7 x^{2} + (12) x - 42$

Passaggio 6.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$2 x^{3} - 7 x^{2} + 12 x - 42$

Passaggio 7

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 7.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x - 2) (2 x^{3} - 7 x^{2}) + 12 x - 42$

Passaggio 7.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x - 2) + x^{2} (2 x - 7) + 6 (2 x - 7)$

$(x - 2) x^{2} (2 x - 7) + 6 (2 x - 7)$

Passaggio 8

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x - 7$ .

$(x - 2) (2 x - 7) (x^{2} + 6)$

Passaggio 9

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 9.1

Raggruppa i termini.

$- 11 x^{3} - 66 x + 2 x^{4} + 26 x^{2} + 84 = 0$

Passaggio 9.2

Scomponi $- 11 x$ da $- 11 x^{3} - 66 x$ .

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Passaggio 9.2.1

Scomponi $- 11 x$ da $- 11 x^{3}$ .

$- 11 x \cdot x^{2} - 66 x + 2 x^{4} + 26 x^{2} + 84 = 0$

Passaggio 9.2.2

Scomponi $- 11 x$ da $- 66 x$ .

$- 11 x \cdot x^{2} - 11 x \cdot 6 + 2 x^{4} + 26 x^{2} + 84 = 0$

Passaggio 9.2.3

Scomponi $- 11 x$ da $- 11 x (x^{2}) - 11 x (6)$ .

$- 11 x (x^{2} + 6) + 2 x^{4} + 26 x^{2} + 84 = 0$

Passaggio 9.3

Scomponi $2$ da $2 x^{4} + 26 x^{2} + 84$ .

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Passaggio 9.3.1

Scomponi $2$ da $2 x^{4}$ .

$- 11 x (x^{2} + 6) + 2 (x^{4}) + 26 x^{2} + 84 = 0$

Passaggio 9.3.2

Scomponi $2$ da $26 x^{2}$ .

$- 11 x (x^{2} + 6) + 2 (x^{4}) + 2 (13 x^{2}) + 84 = 0$

Passaggio 9.3.3

Scomponi $2$ da $84$ .

$- 11 x (x^{2} + 6) + 2 x^{4} + 2 (13 x^{2}) + 2 \cdot 42 = 0$

Passaggio 9.3.4

Scomponi $2$ da $2 x^{4} + 2 (13 x^{2})$ .

$- 11 x (x^{2} + 6) + 2 (x^{4} + 13 x^{2}) + 2 \cdot 42 = 0$

Passaggio 9.3.5

Scomponi $2$ da $2 (x^{4} + 13 x^{2}) + 2 \cdot 42$ .

$- 11 x (x^{2} + 6) + 2 (x^{4} + 13 x^{2} + 42) = 0$

Passaggio 9.4

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 11 x (x^{2} + 6) + 2 ({(x^{2})}^{2} + 13 x^{2} + 42) = 0$

Passaggio 9.5

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$- 11 x (x^{2} + 6) + 2 (u^{2} + 13 u + 42) = 0$

Passaggio 9.6

Scomponi $u^{2} + 13 u + 42$ usando il metodo AC.

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Passaggio 9.6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $42$ e la cui somma è $13$ .

$6, 7$

Passaggio 9.6.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- 11 x (x^{2} + 6) + 2 ((u + 6) (u + 7)) = 0$

Passaggio 9.7

Scomponi.

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Passaggio 9.7.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$- 11 x (x^{2} + 6) + 2 ((x^{2} + 6) (x^{2} + 7)) = 0$

Passaggio 9.7.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 11 x (x^{2} + 6) + 2 (x^{2} + 6) (x^{2} + 7) = 0$

Passaggio 9.8

Scomponi $x^{2} + 6$ da $- 11 x (x^{2} + 6) + 2 (x^{2} + 6) (x^{2} + 7)$ .

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Passaggio 9.8.1

Scomponi $x^{2} + 6$ da $- 11 x (x^{2} + 6)$ .

$(x^{2} + 6) (- 11 x) + 2 (x^{2} + 6) (x^{2} + 7) = 0$

Passaggio 9.8.2

Scomponi $x^{2} + 6$ da $2 (x^{2} + 6) (x^{2} + 7)$ .

$(x^{2} + 6) (- 11 x) + (x^{2} + 6) (2 (x^{2} + 7)) = 0$

Passaggio 9.8.3

Scomponi $x^{2} + 6$ da $(x^{2} + 6) (- 11 x) + (x^{2} + 6) (2 (x^{2} + 7))$ .

$(x^{2} + 6) (- 11 x + 2 (x^{2} + 7)) = 0$

Passaggio 9.9

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{2} + 6) (- 11 x + 2 x^{2} + 2 \cdot 7) = 0$

Passaggio 9.10

Moltiplica $2$ per $7$ .

$(x^{2} + 6) (- 11 x + 2 x^{2} + 14) = 0$

Passaggio 9.11

Riordina i termini.

$(x^{2} + 6) (2 x^{2} - 11 x + 14) = 0$

Passaggio 9.12

Scomponi.

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Passaggio 9.12.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 9.12.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 14 = 28$ e la cui somma è $b = - 11$ .

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Passaggio 9.12.1.1.1

Scomponi $- 11$ da $- 11 x$ .

$(x^{2} + 6) (2 x^{2} - 11 x + 14) = 0$

Passaggio 9.12.1.1.2

Riscrivi $- 11$ come $- 4$ più $- 7$ .

$(x^{2} + 6) (2 x^{2} + (- 4 - 7) x + 14) = 0$

Passaggio 9.12.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{2} + 6) (2 x^{2} - 4 x - 7 x + 14) = 0$

Passaggio 9.12.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 9.12.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x^{2} + 6) ((2 x^{2} - 4 x) - 7 x + 14) = 0$

Passaggio 9.12.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x^{2} + 6) (2 x (x - 2) - 7 (x - 2)) = 0$

Passaggio 9.12.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 2$ .

$(x^{2} + 6) ((x - 2) (2 x - 7)) = 0$

Passaggio 9.12.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x^{2} + 6) (x - 2) (2 x - 7) = 0$

Passaggio 10

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} + 6 = 0$

$x - 2 = 0$

$2 x - 7 = 0$

Passaggio 11

Imposta $x^{2} + 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.1

Imposta $x^{2} + 6$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 6 = 0$

Passaggio 11.2

Risolvi $x^{2} + 6 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 11.2.1

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 6$

Passaggio 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

Passaggio 11.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 6}$ .

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Passaggio 11.2.3.1

Riscrivi $- 6$ come $- 1 (6)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

Passaggio 11.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (6)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

Passaggio 11.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \sqrt{6}$

Passaggio 11.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 11.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i \sqrt{6}$

Passaggio 11.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i \sqrt{6}$

Passaggio 11.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Passaggio 12

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 12.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 12.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 13

Imposta $2 x - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 13.1

Imposta $2 x - 7$ uguale a $0$ .

$2 x - 7 = 0$

Passaggio 13.2

Risolvi $2 x - 7 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 13.2.1

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 7$

Passaggio 13.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 7$ e semplifica.

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Passaggio 13.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 7$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Passaggio 13.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 13.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 13.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Passaggio 13.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{7}{2}$

Passaggio 14

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x^{2} + 6) (x - 2) (2 x - 7) = 0$ vera.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}, 2, \frac{7}{2}$

Passaggio 15