Algebra Esempi

$f (x) = x^{2} {(x - 3)}^{3} (x + 4)$

Passaggio 1

Per trovare la simmetria, determina se la funzione è dispari, pari o né pari né dispari.

1. Se dispari, la funzione è simmetrica rispetto all'origine.

2. Se pari, la funzione è simmetrica rispetto all'asse y.

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa il teorema binomiale.

$f (x) = x^{2} (x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 3 + 3 x {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) (x + 4)$

Passaggio 2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$f (x) = x^{2} (x^{3} - 9 x^{2} + 3 x {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) (x + 4)$

Passaggio 2.2.1.2

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$f (x) = x^{2} (x^{3} - 9 x^{2} + 3 x \cdot 9 + {(- 3)}^{3}) (x + 4)$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $9$ per $3$ .

$f (x) = x^{2} (x^{3} - 9 x^{2} + 27 x + {(- 3)}^{3}) (x + 4)$

Passaggio 2.2.1.4

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$f (x) = x^{2} (x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27) (x + 4)$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) = (x^{2} x^{3} + x^{2} (- 9 x^{2}) + x^{2} (27 x) + x^{2} \cdot - 27) (x + 4)$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x) = (x^{2 + 3} + x^{2} (- 9 x^{2}) + x^{2} (27 x) + x^{2} \cdot - 27) (x + 4)$

Passaggio 2.3.1.2

Somma $2$ e $3$ .

$f (x) = (x^{5} + x^{2} (- 9 x^{2}) + x^{2} (27 x) + x^{2} \cdot - 27) (x + 4)$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (x) = (x^{5} - 9 x^{2} x^{2} + x^{2} (27 x) + x^{2} \cdot - 27) (x + 4)$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (x) = (x^{5} - 9 x^{2} x^{2} + 27 x^{2} x + x^{2} \cdot - 27) (x + 4)$

Passaggio 2.3.4

Sposta $- 27$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$f (x) = (x^{5} - 9 x^{2} x^{2} + 27 x^{2} x - 27 \cdot x^{2}) (x + 4)$

Passaggio 2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$f (x) = (x^{5} - 9 (x^{2} x^{2}) + 27 x^{2} x - 27 \cdot x^{2}) (x + 4)$

Passaggio 2.4.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x) = (x^{5} - 9 x^{2 + 2} + 27 x^{2} x - 27 \cdot x^{2}) (x + 4)$

Passaggio 2.4.1.3

Somma $2$ e $2$ .

$f (x) = (x^{5} - 9 x^{4} + 27 x^{2} x - 27 \cdot x^{2}) (x + 4)$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Sposta $x$ .

$f (x) = (x^{5} - 9 x^{4} + 27 (x \cdot x^{2}) - 27 \cdot x^{2}) (x + 4)$

Passaggio 2.4.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f (x) = (x^{5} - 9 x^{4} + 27 (x \cdot x^{2}) - 27 \cdot x^{2}) (x + 4)$

Passaggio 2.4.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x) = (x^{5} - 9 x^{4} + 27 x^{1 + 2} - 27 \cdot x^{2}) (x + 4)$

Passaggio 2.4.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f (x) = (x^{5} - 9 x^{4} + 27 x^{3} - 27 \cdot x^{2}) (x + 4)$

$f (x) = (x^{5} - 9 x^{4} + 27 x^{3} - 27 x^{2}) (x + 4)$

Passaggio 2.5

Espandi $(x^{5} - 9 x^{4} + 27 x^{3} - 27 x^{2}) (x + 4)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$f (x) = x^{5} x + x^{5} \cdot 4 - 9 x^{4} x - 9 x^{4} \cdot 4 + 27 x^{3} x + 27 x^{3} \cdot 4 - 27 x^{2} x - 27 x^{2} \cdot 4$

Passaggio 2.6

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Moltiplica $x^{5}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1.1

Moltiplica $x^{5}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f (x) = x^{5} x + x^{5} \cdot 4 - 9 x^{4} x - 9 x^{4} \cdot 4 + 27 x^{3} x + 27 x^{3} \cdot 4 - 27 x^{2} x - 27 x^{2} \cdot 4$

Passaggio 2.6.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x) = x^{5 + 1} + x^{5} \cdot 4 - 9 x^{4} x - 9 x^{4} \cdot 4 + 27 x^{3} x + 27 x^{3} \cdot 4 - 27 x^{2} x - 27 x^{2} \cdot 4$

Passaggio 2.6.1.1.2

Somma $5$ e $1$ .

$f (x) = x^{6} + x^{5} \cdot 4 - 9 x^{4} x - 9 x^{4} \cdot 4 + 27 x^{3} x + 27 x^{3} \cdot 4 - 27 x^{2} x - 27 x^{2} \cdot 4$

Passaggio 2.6.1.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{5}$ .

$f (x) = x^{6} + 4 \cdot x^{5} - 9 x^{4} x - 9 x^{4} \cdot 4 + 27 x^{3} x + 27 x^{3} \cdot 4 - 27 x^{2} x - 27 x^{2} \cdot 4$

Passaggio 2.6.1.3

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.3.1

Sposta $x$ .

$f (x) = x^{6} + 4 x^{5} - 9 (x \cdot x^{4}) - 9 x^{4} \cdot 4 + 27 x^{3} x + 27 x^{3} \cdot 4 - 27 x^{2} x - 27 x^{2} \cdot 4$

Passaggio 2.6.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f (x) = x^{6} + 4 x^{5} - 9 (x \cdot x^{4}) - 9 x^{4} \cdot 4 + 27 x^{3} x + 27 x^{3} \cdot 4 - 27 x^{2} x - 27 x^{2} \cdot 4$

Passaggio 2.6.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x) = x^{6} + 4 x^{5} - 9 x^{1 + 4} - 9 x^{4} \cdot 4 + 27 x^{3} x + 27 x^{3} \cdot 4 - 27 x^{2} x - 27 x^{2} \cdot 4$

Passaggio 2.6.1.3.3

Somma $1$ e $4$ .

$f (x) = x^{6} + 4 x^{5} - 9 x^{5} - 9 x^{4} \cdot 4 + 27 x^{3} x + 27 x^{3} \cdot 4 - 27 x^{2} x - 27 x^{2} \cdot 4$

Passaggio 2.6.1.4

Moltiplica $4$ per $- 9$ .

$f (x) = x^{6} + 4 x^{5} - 9 x^{5} - 36 x^{4} + 27 x^{3} x + 27 x^{3} \cdot 4 - 27 x^{2} x - 27 x^{2} \cdot 4$

Passaggio 2.6.1.5

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.5.1

Sposta $x$ .

$f (x) = x^{6} + 4 x^{5} - 9 x^{5} - 36 x^{4} + 27 (x \cdot x^{3}) + 27 x^{3} \cdot 4 - 27 x^{2} x - 27 x^{2} \cdot 4$

Passaggio 2.6.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f (x) = x^{6} + 4 x^{5} - 9 x^{5} - 36 x^{4} + 27 (x \cdot x^{3}) + 27 x^{3} \cdot 4 - 27 x^{2} x - 27 x^{2} \cdot 4$

Passaggio 2.6.1.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x) = x^{6} + 4 x^{5} - 9 x^{5} - 36 x^{4} + 27 x^{1 + 3} + 27 x^{3} \cdot 4 - 27 x^{2} x - 27 x^{2} \cdot 4$

Passaggio 2.6.1.5.3

Somma $1$ e $3$ .

$f (x) = x^{6} + 4 x^{5} - 9 x^{5} - 36 x^{4} + 27 x^{4} + 27 x^{3} \cdot 4 - 27 x^{2} x - 27 x^{2} \cdot 4$

Passaggio 2.6.1.6

Moltiplica $4$ per $27$ .

$f (x) = x^{6} + 4 x^{5} - 9 x^{5} - 36 x^{4} + 27 x^{4} + 108 x^{3} - 27 x^{2} x - 27 x^{2} \cdot 4$

Passaggio 2.6.1.7

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.7.1

Sposta $x$ .

$f (x) = x^{6} + 4 x^{5} - 9 x^{5} - 36 x^{4} + 27 x^{4} + 108 x^{3} - 27 (x \cdot x^{2}) - 27 x^{2} \cdot 4$

Passaggio 2.6.1.7.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.7.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f (x) = x^{6} + 4 x^{5} - 9 x^{5} - 36 x^{4} + 27 x^{4} + 108 x^{3} - 27 (x \cdot x^{2}) - 27 x^{2} \cdot 4$

Passaggio 2.6.1.7.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x) = x^{6} + 4 x^{5} - 9 x^{5} - 36 x^{4} + 27 x^{4} + 108 x^{3} - 27 x^{1 + 2} - 27 x^{2} \cdot 4$

Passaggio 2.6.1.7.3

Somma $1$ e $2$ .

$f (x) = x^{6} + 4 x^{5} - 9 x^{5} - 36 x^{4} + 27 x^{4} + 108 x^{3} - 27 x^{3} - 27 x^{2} \cdot 4$

Passaggio 2.6.1.8

Moltiplica $4$ per $- 27$ .

$f (x) = x^{6} + 4 x^{5} - 9 x^{5} - 36 x^{4} + 27 x^{4} + 108 x^{3} - 27 x^{3} - 108 x^{2}$

Passaggio 2.6.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Sottrai $9 x^{5}$ da $4 x^{5}$ .

$f (x) = x^{6} - 5 x^{5} - 36 x^{4} + 27 x^{4} + 108 x^{3} - 27 x^{3} - 108 x^{2}$

Passaggio 2.6.2.2

Somma $- 36 x^{4}$ e $27 x^{4}$ .

$f (x) = x^{6} - 5 x^{5} - 9 x^{4} + 108 x^{3} - 27 x^{3} - 108 x^{2}$

Passaggio 2.6.2.3

Sottrai $27 x^{3}$ da $108 x^{3}$ .

$f (x) = x^{6} - 5 x^{5} - 9 x^{4} + 81 x^{3} - 108 x^{2}$

Passaggio 3

Trova $f (- x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova $f (- x)$ sostituendo $- x$ in ogni occorrenza di $x$ in $f (x)$ .

$f (- x) = {(- x)}^{6} - 5 {(- x)}^{5} - 9 {(- x)}^{4} + 81 {(- x)}^{3} - 108 {(- x)}^{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = {(- 1)}^{6} x^{6} - 5 {(- x)}^{5} - 9 {(- x)}^{4} + 81 {(- x)}^{3} - 108 {(- x)}^{2}$

Passaggio 3.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $6$ .

$f (- x) = 1 x^{6} - 5 {(- x)}^{5} - 9 {(- x)}^{4} + 81 {(- x)}^{3} - 108 {(- x)}^{2}$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $x^{6}$ per $1$ .

$f (- x) = x^{6} - 5 {(- x)}^{5} - 9 {(- x)}^{4} + 81 {(- x)}^{3} - 108 {(- x)}^{2}$

Passaggio 3.2.4

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = x^{6} - 5 ({(- 1)}^{5} x^{5}) - 9 {(- x)}^{4} + 81 {(- x)}^{3} - 108 {(- x)}^{2}$

Passaggio 3.2.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$f (- x) = x^{6} - 5 (- x^{5}) - 9 {(- x)}^{4} + 81 {(- x)}^{3} - 108 {(- x)}^{2}$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$f (- x) = x^{6} + 5 x^{5} - 9 {(- x)}^{4} + 81 {(- x)}^{3} - 108 {(- x)}^{2}$

Passaggio 3.2.7

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = x^{6} + 5 x^{5} - 9 ({(- 1)}^{4} x^{4}) + 81 {(- x)}^{3} - 108 {(- x)}^{2}$

Passaggio 3.2.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- x) = x^{6} + 5 x^{5} - 9 (1 x^{4}) + 81 {(- x)}^{3} - 108 {(- x)}^{2}$

Passaggio 3.2.9

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$f (- x) = x^{6} + 5 x^{5} - 9 x^{4} + 81 {(- x)}^{3} - 108 {(- x)}^{2}$

Passaggio 3.2.10

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = x^{6} + 5 x^{5} - 9 x^{4} + 81 ({(- 1)}^{3} x^{3}) - 108 {(- x)}^{2}$

Passaggio 3.2.11

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- x) = x^{6} + 5 x^{5} - 9 x^{4} + 81 (- x^{3}) - 108 {(- x)}^{2}$

Passaggio 3.2.12

Moltiplica $- 1$ per $81$ .

$f (- x) = x^{6} + 5 x^{5} - 9 x^{4} - 81 x^{3} - 108 {(- x)}^{2}$

Passaggio 3.2.13

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = x^{6} + 5 x^{5} - 9 x^{4} - 81 x^{3} - 108 ({(- 1)}^{2} x^{2})$

Passaggio 3.2.14

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- x) = x^{6} + 5 x^{5} - 9 x^{4} - 81 x^{3} - 108 (1 x^{2})$

Passaggio 3.2.15

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f (- x) = x^{6} + 5 x^{5} - 9 x^{4} - 81 x^{3} - 108 x^{2}$

Passaggio 4

Una funzione è pari se $f (- x) = f (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Verifica se $f (- x) = f (x)$ .

Passaggio 4.2

Poiché $x^{6} + 5 x^{5} - 9 x^{4} - 81 x^{3} - 108 x^{2}$ $\neq$ $x^{6} - 5 x^{5} - 9 x^{4} + 81 x^{3} - 108 x^{2}$ , la funzione non è pari.

La funzione non è pari

Passaggio 5

Una funzione è dispari se $f (- x) = - f (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova $- f (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Moltiplica $x^{6} - 5 x^{5} - 9 x^{4} + 81 x^{3} - 108 x^{2}$ per $- 1$ .

$- f (x) = - (x^{6} - 5 x^{5} - 9 x^{4} + 81 x^{3} - 108 x^{2})$

Passaggio 5.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$- f (x) = - x^{6} - (- 5 x^{5}) - (- 9 x^{4}) - (81 x^{3}) - (- 108 x^{2})$

Passaggio 5.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$- f (x) = - x^{6} + 5 x^{5} - (- 9 x^{4}) - (81 x^{3}) - (- 108 x^{2})$

Passaggio 5.1.3.2

Moltiplica $- 9$ per $- 1$ .

$- f (x) = - x^{6} + 5 x^{5} + 9 x^{4} - (81 x^{3}) - (- 108 x^{2})$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $81$ per $- 1$ .

$- f (x) = - x^{6} + 5 x^{5} + 9 x^{4} - 81 x^{3} - (- 108 x^{2})$

Passaggio 5.1.3.4

Moltiplica $- 108$ per $- 1$ .

$- f (x) = - x^{6} + 5 x^{5} + 9 x^{4} - 81 x^{3} + 108 x^{2}$

Passaggio 5.2

Poiché $x^{6} + 5 x^{5} - 9 x^{4} - 81 x^{3} - 108 x^{2}$ $\neq$ $- x^{6} + 5 x^{5} + 9 x^{4} - 81 x^{3} + 108 x^{2}$ , la funzione non è dispari.

La funzione non è dispari

Passaggio 6

La funzione non è né dispari né pari

Passaggio 7

Poiché la funzione è non dispari, non è simmetrica rispetto all'origine.

Nessuna simmetria rispetto all'origine

Passaggio 8

Poiché la funzione è non pari, non è simmetrica rispetto all'asse y.

Nessuna simmetria rispetto all'asse y

Passaggio 9

Poiché la funzione non è né pari né dispari, non c'è simmetria né rispetto all'origine, né rispetto all'asse y.

La funzione non è simmetrica

Passaggio 10