Algebra Esempi

${(1 + 2 i)}^{4}$

Passaggio 1

Utilizza il teorema di sviluppo binomiale per trovare ogni termine. Il teorema binomiale stabilisce che ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(1)}^{4 - k} \cdot {(2 i)}^{k}$

Passaggio 2

Espandi la sommatoria.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(1)}^{4 - 0} \cdot {(2 i)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(1)}^{4 - 1} \cdot {(2 i)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(1)}^{4 - 2} \cdot {(2 i)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(1)}^{4 - 3} \cdot {(2 i)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(1)}^{4 - 4} \cdot {(2 i)}^{4}$

Passaggio 3

Semplifica gli esponenti di ciascun termine dell'espansione.

$1 \cdot {(1)}^{4} \cdot {(2 i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Passaggio 4

Semplifica il risultato del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $1$ per ${(1)}^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Moltiplica $1$ per ${(1)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1.1

Eleva $1$ alla potenza di $1$ .

$1^{1} \cdot {(1)}^{4} \cdot {(2 i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1^{1 + 4} \cdot {(2 i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.1.2

Somma $1$ e $4$ .

$1^{5} \cdot {(2 i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica $1^{5} \cdot {(2 i)}^{0}$ .

$1^{5} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 4 \cdot 1 \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$1 + 4 \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.6

Semplifica.

$1 + 4 \cdot (2 i) + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.7

Moltiplica $2$ per $4$ .

$1 + 8 i + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 8 i + 6 \cdot 1 \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.9

Moltiplica $6$ per $1$ .

$1 + 8 i + 6 \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.10

Applica la regola del prodotto a $2 i$ .

$1 + 8 i + 6 \cdot (2^{2} i^{2}) + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.11

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$1 + 8 i + 6 \cdot (4 i^{2}) + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.12

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 + 8 i + 6 \cdot (4 \cdot - 1) + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.13

Moltiplica $6 (4 \cdot - 1)$ .

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Passaggio 4.1.13.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$1 + 8 i + 6 \cdot - 4 + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.13.2

Moltiplica $6$ per $- 4$ .

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.14

Calcola l'esponente.

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot 1 \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.15

Moltiplica $4$ per $1$ .

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.16

Applica la regola del prodotto a $2 i$ .

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot (2^{3} i^{3}) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.17

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot (8 i^{3}) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.18

Metti in evidenza $i^{2}$ .

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot (8 (i^{2} \cdot i)) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.19

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot (8 (- 1 \cdot i)) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.20

Riscrivi $- 1 i$ come $- i$ .

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot (8 (- i)) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.21

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot (- 8 i) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.22

Moltiplica $- 8$ per $4$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.23

Moltiplica $1$ per ${(1)}^{0}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1.23.1

Moltiplica $1$ per ${(1)}^{0}$ .

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Passaggio 4.1.23.1.1

Eleva $1$ alla potenza di $1$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 1^{1} \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.23.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 1^{1 + 0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.23.2

Somma $1$ e $0$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 1^{1} \cdot {(2 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.24

Semplifica $1^{1} \cdot {(2 i)}^{4}$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + {(2 i)}^{4}$

Passaggio 4.1.25

Applica la regola del prodotto a $2 i$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 2^{4} i^{4}$

Passaggio 4.1.26

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 16 i^{4}$

Passaggio 4.1.27

Riscrivi $i^{4}$ come $1$ .

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Passaggio 4.1.27.1

Riscrivi $i^{4}$ come ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 16 {(i^{2})}^{2}$

Passaggio 4.1.27.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 16 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.1.27.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 16 \cdot 1$

Passaggio 4.1.28

Moltiplica $16$ per $1$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 16$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $24$ da $1$ .

$- 23 + 8 i - 32 i + 16$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 23$ e $16$ .

$- 7 + 8 i - 32 i$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $32 i$ da $8 i$ .

$- 7 - 24 i$