Algebra Esempi

$\sqrt{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} - 5 x + 9}$ come ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} - 5 x + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 5 x + 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 5 x + 9$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Passaggio 1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Passaggio 1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Passaggio 1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Passaggio 1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Passaggio 1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Passaggio 1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Passaggio 1.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Passaggio 1.7.3

Sposta ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Passaggio 1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 5 x + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 1.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 1.10

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 1.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 1.12

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5 + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 1.13

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5 + 0)$

Passaggio 1.14

Somma $2 x - 5$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5)$

Passaggio 1.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.15.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5)$ .

$(2 x - 5) \frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.15.2

Moltiplica $2 x - 5$ per $\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x - 5}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x - 5}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 5}{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 x - 5}{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 x - 5$ e $g (x) = {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 5) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 5) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 5) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 5) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 5) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 5)) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.5.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.5.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 + \frac{d}{d x} (- 5)) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.5.5

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 + 0) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.5.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.5.6.2

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} - 5 x + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 5 x + 9$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 5 x + 9$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.11

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.11.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.11.3

Sposta ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.12

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 5 x + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (9)))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (9)))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.14

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 5 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (9)))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.15

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (9)))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.16

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 5 + \frac{d}{d x} (9)))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.17

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 5 + 0))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.18

Somma $2 x - 5$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 5))}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.19

Eleva $2 x - 5$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (2 x - 5) \frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.20

Eleva $2 x - 5$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (2 x - 5) \frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.21

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - {(2 x - 5)}^{1 + 1} \frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.22

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - {(2 x - 5)}^{2} \frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.23

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ e ${(2 x - 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{{(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.24

Per scrivere $2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.25

$2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.26

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.27

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.28

Moltiplica ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.28.1

Sposta ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 ({(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.28.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.28.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1 + 1}{2}} - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.28.4

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{2}{2}} - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.28.5

Dividi $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.29

Semplifica $4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

Passaggio 2.30

Riscrivi $\frac{\frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$ come un prodotto.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} - 5 x + 9})$

Passaggio 2.31

Moltiplica $\frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{x^{2} - 5 x + 9}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 5 x + 9)}$

Passaggio 2.32

Eleva $x^{2} - 5 x + 9$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 ((x^{2} - 5 x + 9) {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 2.33

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.34

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.34.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.34.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Passaggio 2.34.3

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.35

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 (2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}})}$

Passaggio 2.36

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.37

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.37.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 (- 5 x) + 4 \cdot 9 - {(2 x - 5)}^{2}}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.37.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.37.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.37.2.1.1

Moltiplica $- 5$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 4 \cdot 9 - {(2 x - 5)}^{2}}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.37.2.1.2

Moltiplica $4$ per $9$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - {(2 x - 5)}^{2}}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.37.2.1.3

Riscrivi ${(2 x - 5)}^{2}$ come $(2 x - 5) (2 x - 5)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - ((2 x - 5) (2 x - 5))}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.37.2.1.4

Espandi $(2 x - 5) (2 x - 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.37.2.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (2 x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5))}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.37.2.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x - 5))}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.37.2.1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5)}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.37.2.1.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.37.2.1.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.37.2.1.5.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5)}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.37.2.1.5.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.37.2.1.5.1.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5)}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.37.2.1.5.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5)}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.37.2.1.5.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (4 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5)}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.37.2.1.5.1.4

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (4 x^{2} - 10 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5)}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.37.2.1.5.1.5

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (4 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5)}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.37.2.1.5.1.6

Moltiplica $- 5$ per $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (4 x^{2} - 10 x - 10 x + 25)}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.37.2.1.5.2

Sottrai $10 x$ da $- 10 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (4 x^{2} - 20 x + 25)}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.37.2.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (4 x^{2}) - (- 20 x) - 1 \cdot 25}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.37.2.1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.37.2.1.7.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - 4 x^{2} - (- 20 x) - 1 \cdot 25}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.37.2.1.7.2

Moltiplica $- 20$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - 4 x^{2} + 20 x - 1 \cdot 25}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.37.2.1.7.3

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - 4 x^{2} + 20 x - 25}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.37.2.2

Combina i termini opposti in $4 x^{2} - 20 x + 36 - 4 x^{2} + 20 x - 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.37.2.2.1

Sottrai $4 x^{2}$ da $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 20 x + 36 + 0 + 20 x - 25}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.37.2.2.2

Somma $- 20 x + 36$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 20 x + 36 + 20 x - 25}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.37.2.2.3

Somma $- 20 x$ e $20 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 36 - 25}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.37.2.2.4

Somma $0$ e $36$ .

$f'' (x) = \frac{36 - 25}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.37.2.3

Sottrai $25$ da $36$ .

$f'' (x) = \frac{11}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{2 x - 5}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} - 5 x + 9}$ come ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} - 5 x + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 5 x + 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Passaggio 4.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 5 x + 9$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Passaggio 4.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Passaggio 4.1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Passaggio 4.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Passaggio 4.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Passaggio 4.1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Passaggio 4.1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Passaggio 4.1.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Passaggio 4.1.7.3

Sposta ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

Passaggio 4.1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 5 x + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 4.1.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 4.1.10

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 4.1.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 4.1.12

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5 + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 4.1.13

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5 + 0)$

Passaggio 4.1.14

Somma $2 x - 5$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5)$

Passaggio 4.1.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.15.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5)$ .

$(2 x - 5) \frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.15.2

Moltiplica $2 x - 5$ per $\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 5}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2 x - 5}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x - 5}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{2 x - 5}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{2 x - 5}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 x - 5 = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 5$

Passaggio 5.3.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 5$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Passaggio 5.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Passaggio 5.3.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{5}{2}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{5}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{11}{4 {({(\frac{5}{2})}^{2} - 5 (\frac{5}{2}) + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{2}$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{5^{2}}{2^{2}} - 5 (\frac{5}{2}) + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{2^{2}} - 5 (\frac{5}{2}) + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} - 5 (\frac{5}{2}) + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.1.4

Moltiplica $- 5 (\frac{5}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.4.1

$- 5$ e $\frac{5}{2}$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} + \frac{- 5 \cdot 5}{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.1.4.2

Moltiplica $- 5$ per $5$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} + \frac{- 25}{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Moltiplica $\frac{25}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} - (\frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.2.2

Moltiplica $\frac{25}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.2.3

Scrivi $9$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9}{1})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.2.4

Moltiplica $\frac{9}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9}{1} \cdot \frac{4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.2.5

Moltiplica $\frac{9}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9 \cdot 4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.2.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{4} + \frac{9 \cdot 4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{11}{4 {(\frac{25 - 25 \cdot 2 + 9 \cdot 4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.4.1

Moltiplica $- 25$ per $2$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{25 - 50 + 9 \cdot 4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.4.2

Moltiplica $9$ per $4$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{25 - 50 + 36}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.5

Sottrai $50$ da $25$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{- 25 + 36}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.6

Somma $- 25$ e $36$ .

$\frac{11}{4 {(\frac{11}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.7

Applica la regola del prodotto a $\frac{11}{4}$ .

$\frac{11}{4 \frac{11^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}}$

Passaggio 9.1.8

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.8.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{11}{4 \frac{11^{\frac{3}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}}$

Passaggio 9.1.8.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{11}{4 \frac{11^{\frac{3}{2}}}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Passaggio 9.1.8.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.8.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{11}{4 \frac{11^{\frac{3}{2}}}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Passaggio 9.1.8.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{11}{4 \frac{11^{\frac{3}{2}}}{2^{3}}}$

Passaggio 9.1.8.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{11}{4 \frac{11^{\frac{3}{2}}}{8}}$

Passaggio 9.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

$4$ e $\frac{11^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\frac{11}{\frac{4 \cdot 11^{\frac{3}{2}}}{8}}$

Passaggio 9.2.2

Riduci l'espressione $\frac{4 \cdot 11^{\frac{3}{2}}}{8}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Scomponi $4$ da $4 \cdot 11^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{11}{\frac{4 (11^{\frac{3}{2}})}{8}}$

Passaggio 9.2.2.2

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{11}{\frac{4 \cdot 11^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 2}}$

Passaggio 9.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{11}{\frac{4 \cdot 11^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 2}}$

Passaggio 9.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{11}{\frac{11^{\frac{3}{2}}}{2}}$

Passaggio 9.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$11 \frac{2}{11^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.4

Moltiplica $11 \frac{2}{11^{\frac{3}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

$11$ e $\frac{2}{11^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{11 \cdot 2}{11^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.4.2

Moltiplica $11$ per $2$ .

$\frac{22}{11^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 10

$x = \frac{5}{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{5}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = \frac{5}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} - 5 (\frac{5}{2}) + 9}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{5^{2}}{2^{2}} - 5 (\frac{5}{2}) + 9}$

Passaggio 11.2.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25}{2^{2}} - 5 (\frac{5}{2}) + 9}$

Passaggio 11.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25}{4} - 5 (\frac{5}{2}) + 9}$

Passaggio 11.2.4

Moltiplica $- 5 (\frac{5}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.4.1

$- 5$ e $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{- 5 \cdot 5}{2} + 9}$

Passaggio 11.2.4.2

Moltiplica $- 5$ per $5$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{- 25}{2} + 9}$

Passaggio 11.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 9}$

Passaggio 11.2.6

Per scrivere $- \frac{25}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25}{4} - \frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2} + 9}$

Passaggio 11.2.7

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.7.1

Moltiplica $\frac{25}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 9}$

Passaggio 11.2.7.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{4} + 9}$

Passaggio 11.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25 - 25 \cdot 2}{4} + 9}$

Passaggio 11.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.9.1

Moltiplica $- 25$ per $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25 - 50}{4} + 9}$

Passaggio 11.2.9.2

Sottrai $50$ da $25$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{- 25}{4} + 9}$

Passaggio 11.2.10

Per scrivere $9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{- 25}{4} + 9 \cdot \frac{4}{4}}$

Passaggio 11.2.11

$9$ e $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{- 25}{4} + \frac{9 \cdot 4}{4}}$

Passaggio 11.2.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{- 25 + 9 \cdot 4}{4}}$

Passaggio 11.2.13

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.13.1

Moltiplica $9$ per $4$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{- 25 + 36}{4}}$

Passaggio 11.2.13.2

Somma $- 25$ e $36$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{11}{4}}$

Passaggio 11.2.14

Riscrivi $\sqrt{\frac{11}{4}}$ come $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{4}}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 11.2.15

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.15.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 11.2.15.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{\sqrt{11}}{2}$

Passaggio 11.2.16

La risposta finale è $\frac{\sqrt{11}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{11}}{2}$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \sqrt{x^{2} - 5 x + 9}$ .

$(\frac{5}{2}, \frac{\sqrt{11}}{2})$ è un minimo locale

Passaggio 13