Algebra Esempi

$\sec (x)$

Passaggio 1

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$f' (x) = \sec (x) \tan (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = \tan (x)$ .

$\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 2.3

Moltiplica $\sec (x)$ per $\sec^{2} (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $\sec (x)$ per $\sec^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 2.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 2.3.2

Somma $1$ e $2$ .

$\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 2.4

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))$

Passaggio 2.5

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x)$

Passaggio 2.6

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x)$

Passaggio 2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)$

Passaggio 2.8

Somma $1$ e $1$ .

$\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)$

Passaggio 2.9

Riordina i termini.

$f'' (x) = \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x) \sec (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \tan^{2} (x)$ e $g (x) = \sec (x)$ .

$\tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$\tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\tan (x)$ .

$\tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Passaggio 3.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\tan (x)$ .

$\tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Passaggio 3.2.4

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$\tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $\tan^{2} (x)$ per $\tan (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Sposta $\tan (x)$ .

$\tan (x) \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Passaggio 3.2.5.2

Moltiplica $\tan (x)$ per $\tan^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.1

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Passaggio 3.2.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\tan (x)}^{1 + 2} \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Passaggio 3.2.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Passaggio 3.2.6

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Passaggio 3.2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) {\sec (x)}^{1 + 2} + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Passaggio 3.2.8

Somma $1$ e $2$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \sec (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\sec (x)$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 3.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sec (x)$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 3.3.2

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))$

Passaggio 3.3.3

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) \tan (x)$

Passaggio 3.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x)$

Passaggio 3.3.5

Somma $1$ e $2$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Passaggio 3.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riordina i fattori di $2 \tan (x) \sec^{3} (x)$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \sec^{3} (x) \tan (x) + 3 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Passaggio 3.4.2

Somma $2 \sec^{3} (x) \tan (x)$ e $3 \sec^{3} (x) \tan (x)$ .

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 5 \sec^{3} (x) \tan (x)$