Algebra Esempi

$y = - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 1

La funzione genitore è la forma più semplice del tipo di funzione data.

$y = x^{2}$

Passaggio 2

Semplifica $- \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi ${(x + 1)}^{2}$ come $(x + 1) (x + 1)$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot ((x + 1) (x + 1))$

Passaggio 2.2

Espandi $(x + 1) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

Passaggio 2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Passaggio 2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

Passaggio 2.3.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x + x + 1)$

Passaggio 2.3.2

Somma $x$ e $x$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 2 x + 1)$

Passaggio 2.4

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 2.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 2.5.2.2

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (x)) - \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 2.5.2.3

Elimina il fattore comune.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 2.5.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y = - \frac{x^{2}}{2} - 1 x - \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} - 1 x - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.6

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{1}{2}$

Passaggio 3

Supponi che $y = x^{2}$ sia $f (x) = x^{2}$ e $y = - \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{2}$ sia $g (x) = - \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{1}{2}$ .

$f (x) = x^{2}$

$g (x) = - \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{1}{2}$

Passaggio 4

La trasformazione descritta è da $f (x) = x^{2}$ a $g (x) = - \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{1}{2}$ .

$f (x) = x^{2} \to g (x) = - \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{1}{2}$

Passaggio 5

Trova la forma del vertice di $g (x) = - \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Completa il quadrato per $- \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$b = - 1$

$c = - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 5.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 5.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$d = \frac{1}{2 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 5.1.3.2.2

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{1}{\frac{2}{2}}$

Passaggio 5.1.3.2.3

Dividi $2$ per $2$ .

$d = \frac{1}{1}$

Passaggio 5.1.3.2.4

Dividi $1$ per $1$ .

$d = 1$

Passaggio 5.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{1}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 5.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$e = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 5.1.4.2.1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = - \frac{1}{2} - \frac{1}{- 4 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 5.1.4.2.1.2.2

$- 4$ e $\frac{1}{2}$ .

$e = - \frac{1}{2} - \frac{1}{\frac{- 4}{2}}$

Passaggio 5.1.4.2.1.3

Dividi $- 4$ per $2$ .

$e = - \frac{1}{2} - \frac{1}{- 2}$

Passaggio 5.1.4.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e = - \frac{1}{2} - - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.1.4.2.1.5

Moltiplica $- - \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e = - \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Passaggio 5.1.4.2.1.5.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$e = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.1.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e = \frac{- 1 + 1}{2}$

Passaggio 5.1.4.2.3

Somma $- 1$ e $1$ .

$e = \frac{0}{2}$

Passaggio 5.1.4.2.4

Dividi $0$ per $2$ .

$e = 0$

Passaggio 5.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} + 0$ .

$- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} + 0$

Passaggio 5.2

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{2} + 0$

Passaggio 6

La traslazione orizzontale dipende dal valore di $h$ . La traslazione orizzontale è descritta come:

$g (x) = f (x + h)$ - Il grafico è traslato a sinistra di $h$ unità.

$g (x) = f (x - h)$ - Il grafico è traslato a destra di $h$ unità.

Traslazione orizzontale: $1$ unità a sinistra

Passaggio 7

La traslazione verticale dipende dal valore di $k$ . La traslazione verticale è descritta come:

$g (x) = f (x) + k$ - Il grafico è traslato verso l'alto di $k$ unità.

$g (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

In questo caso, $k = 0$ , che significa che il grafico non è spostato verso l'alto o il basso.

Traslazione verticale: no

Passaggio 8

Il grafico è riflesso sull'asse x quando $g (x) = - f (x)$ .

Riflessione sull'asse x: riflessa

Passaggio 9

Il grafico è riflesso sull'asse y quando $g (x) = f (- x)$ .

Riflessione sull'asse y: nessuna

Passaggio 10

Compressione e allungamento dipendono dal valore di $a$ .

Quando $a$ è maggiore di $1$ : in dilatazione verticale

Quando $a$ rientra nell'intervallo $0$ - $1$ : in compressione verticale

Compressione o dilatazione verticale: in compressione

Passaggio 11

Confronta ed elenca le trasformazioni.

Funzione base: $y = x^{2}$

Traslazione orizzontale: $1$ unità a sinistra

Traslazione verticale: no

Riflessione sull'asse x: riflessa

Riflessione sull'asse y: nessuna

Compressione o dilatazione verticale: in compressione

Passaggio 12