Algebra Esempi

$x y^{6} - y = x$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (x y^{6} - y) = \frac{d}{d y} (x)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x y^{6} - y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x y^{6}] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{d}{d y} [x y^{6}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d y} [x y^{6}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = x$ e $g (y) = y^{6}$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{6}] + y^{6} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$x (6 y^{5}) + y^{6} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$x (6 y^{5}) + y^{6} x' + \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 2.2.4

Sposta $6$ alla sinistra di $x$ .

$6 x y^{5} + y^{6} x' + \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$6 x y^{5} + y^{6} x' - \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 x y^{5} + y^{6} x' - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$6 x y^{5} + y^{6} x' - 1$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$6 y^{5} x + y^{6} x' - 1$

Passaggio 3

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$x'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$6 y^{5} x + y^{6} x' - 1 = x'$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sottrai $x'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 y^{5} x + y^{6} x' - 1 - x' = 0$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $6 y^{5} x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{6} x' - 1 - x' = - 6 y^{5} x$

Passaggio 5.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y^{6} x' - x' = - 6 y^{5} x + 1$

Passaggio 5.3

Scomponi $x'$ da $y^{6} x' - x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $x'$ da $y^{6} x'$ .

$x' y^{6} - x' = - 6 y^{5} x + 1$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $x'$ da $- x'$ .

$x' y^{6} + x' \cdot - 1 = - 6 y^{5} x + 1$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $x'$ da $x' y^{6} + x' \cdot - 1$ .

$x' (y^{6} - 1) = - 6 y^{5} x + 1$

Passaggio 5.4

Riscrivi $y^{6}$ come ${(y^{2})}^{3}$ .

$x' ({(y^{2})}^{3} - 1) = - 6 y^{5} x + 1$

Passaggio 5.5

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$x' ({(y^{2})}^{3} - 1^{3}) = - 6 y^{5} x + 1$

Passaggio 5.6

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = y^{2}$ e $b = 1$ .

$x' ((y^{2} - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1^{2})) = - 6 y^{5} x + 1$

Passaggio 5.7

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$x' ((y^{2} - 1^{2}) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1^{2})) = - 6 y^{5} x + 1$

Passaggio 5.7.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = y$ e $b = 1$ .

$x' ((y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1^{2})) = - 6 y^{5} x + 1$

Passaggio 5.7.1.3

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$x' ((y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1^{2})) = - 6 y^{5} x + 1$

Passaggio 5.7.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1^{2}) = - 6 y^{5} x + 1$

Passaggio 5.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1) = - 6 y^{5} x + 1$

Passaggio 5.9

Dividi per $(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)$ ciascun termine in $x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1) = - 6 y^{5} x + 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.1

Dividi per $(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)$ ciascun termine in $x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1) = - 6 y^{5} x + 1$ .

$\frac{x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.9.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.1

Elimina il fattore comune di $y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.9.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x' (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}{(y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.9.2.2

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.2.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.9.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x' ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}{{(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1} = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.9.2.3

Elimina il fattore comune di ${(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}{{(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1} = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.9.2.3.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.9.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.3.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.3.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.3.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2 \cdot 2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.9.3.1.1.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.9.3.1.1.2

Riscrivi $y^{4} + y^{2} + 1$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.3.1.1.2.1

Riscrivi il termine centrale.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 - y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.9.3.1.1.2.2

Rimetti in ordine i termini.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 + 1 - y^{2})} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.9.3.1.1.2.3

Scomponi i primi tre termini con la regola dei quadrati perfetti.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2} + 1)}^{2} - y^{2})} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.9.3.1.1.2.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = y^{2} + 1$ e $b = y$ .

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + 1 + y) (y^{2} + 1 - y))} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.9.3.1.1.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.3.1.1.2.5.1

Riordina i termini.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + y + 1) (y^{2} + 1 - y))} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.9.3.1.1.2.5.2

Riordina i termini.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1))} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.9.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.9.3.1.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.3.1.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.3.1.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{2 \cdot 2} + y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.9.3.1.3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.9.3.1.3.2

Riscrivi $y^{4} + y^{2} + 1$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.3.1.3.2.1

Riscrivi il termine centrale.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 - y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.9.3.1.3.2.2

Rimetti in ordine i termini.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 + 1 - y^{2})}$

Passaggio 5.9.3.1.3.2.3

Scomponi i primi tre termini con la regola dei quadrati perfetti.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2} + 1)}^{2} - y^{2})}$

Passaggio 5.9.3.1.3.2.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = y^{2} + 1$ e $b = y$ .

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + 1 + y) (y^{2} + 1 - y))}$

Passaggio 5.9.3.1.3.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.3.1.3.2.5.1

Riordina i termini.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + y + 1) (y^{2} + 1 - y))}$

Passaggio 5.9.3.1.3.2.5.2

Riordina i termini.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1))}$

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$