Algebra Esempi

$y = \ln (x^{5})$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \ln (y^{5})$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $\ln (y^{5}) = x$ .

$\ln (y^{5}) = x$

Passaggio 2.2

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (y^{5})} = e^{x}$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\ln (y^{5}) = x$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x} = y^{5}$

Passaggio 2.4

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'equazione come $y^{5} = e^{x}$ .

$y^{5} = e^{x}$

Passaggio 2.4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[5]{e^{x}}$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{e^{x}}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{e^{x}}$ è l'inverso di $f (x) = \ln (x^{5})$ .

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Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (\ln (x^{5}))$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (x^{5})) = \sqrt[5]{e^{\ln (x^{5})}}$

Passaggio 4.2.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f^{- 1} (\ln (x^{5})) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Passaggio 4.2.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$f^{- 1} (\ln (x^{5})) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (\sqrt[5]{e^{x}})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[5]{e^{x}}) = \ln ({(\sqrt[5]{e^{x}})}^{5})$

Passaggio 4.3.3

Riscrivi ${\sqrt[5]{e^{x}}}^{5}$ come $e^{x}$ .

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Passaggio 4.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[5]{e^{x}}$ come $e^{\frac{x}{5}}$ .

$f (\sqrt[5]{e^{x}}) = \ln ({(e^{\frac{x}{5}})}^{5})$

Passaggio 4.3.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{e^{x}}) = \ln (e^{\frac{x}{5} \cdot 5})$

Passaggio 4.3.3.3

$\frac{x}{5}$ e $5$ .

$f (\sqrt[5]{e^{x}}) = \ln (e^{\frac{x \cdot 5}{5}})$

Passaggio 4.3.3.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 4.3.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt[5]{e^{x}}) = \ln (e^{\frac{x \cdot 5}{5}})$

Passaggio 4.3.3.4.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f (\sqrt[5]{e^{x}}) = \ln (e^{x})$

Passaggio 4.3.4

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $x$ dall'esponente.

$f (\sqrt[5]{e^{x}}) = x \ln (e)$

Passaggio 4.3.5

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f (\sqrt[5]{e^{x}}) = x \cdot 1$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (\sqrt[5]{e^{x}}) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{e^{x}}$ è l'inverso di $f (x) = \ln (x^{5})$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{e^{x}}$