Algebra Esempi

$x^{4} - x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 54 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Raggruppa i termini.

$- x^{3} + 9 x + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi $- x$ da $- x^{3} + 9 x$ .

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $- x$ da $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} + 9 x + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $- x$ da $9 x$ .

$- x \cdot x^{2} - x \cdot - 9 + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $- x$ da $- x (x^{2}) - x (- 9)$ .

$- x (x^{2} - 9) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Passaggio 1.3

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$- x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Passaggio 1.4

Scomponi.

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Passaggio 1.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$- x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Passaggio 1.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Passaggio 1.5

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Passaggio 1.6

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 15 u + 54 = 0$

Passaggio 1.7

Scomponi $u^{2} - 15 u + 54$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $54$ e la cui somma è $- 15$ .

$- 9, - 6$

Passaggio 1.7.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u - 6) = 0$

Passaggio 1.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} - 6) = 0$

Passaggio 1.9

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} - 6) = 0$

Passaggio 1.10

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6) = 0$

Passaggio 1.11

Scomponi $(x + 3) (x - 3)$ da $- x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6)$ .

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Passaggio 1.11.1

Scomponi $(x + 3) (x - 3)$ da $- x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6) = 0$

Passaggio 1.11.2

Scomponi $(x + 3) (x - 3)$ da $(x + 3) (x - 3) (- x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- x + x^{2} - 6) = 0$

Passaggio 1.12

Sia $u = x$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $u$ .

$(x + 3) (x - 3) (- u + u^{2} - 6) = 0$

Passaggio 1.13

Scomponi $- u + u^{2} - 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.13.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 6$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 3, 2$

Passaggio 1.13.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x + 3) (x - 3) ((u - 3) (u + 2)) = 0$

Passaggio 1.14

Scomponi.

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Passaggio 1.14.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x - 3) (x + 2)) = 0$

Passaggio 1.14.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 3) (x - 3) (x - 3) (x + 2) = 0$

Passaggio 1.15

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 1.15.1

Eleva $x - 3$ alla potenza di $1$ .

$(x + 3) ((x - 3) (x - 3)) (x + 2) = 0$

Passaggio 1.15.2

Eleva $x - 3$ alla potenza di $1$ .

$(x + 3) ((x - 3) (x - 3)) (x + 2) = 0$

Passaggio 1.15.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(x + 3) {(x - 3)}^{1 + 1} (x + 2) = 0$

Passaggio 1.15.4

Somma $1$ e $1$ .

$(x + 3) {(x - 3)}^{2} (x + 2) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 3

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 3.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 4

Imposta ${(x - 3)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta ${(x - 3)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi ${(x - 3)}^{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Poni $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 4.2.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 5

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 3) {(x - 3)}^{2} (x + 2) = 0$ vera.

$x = - 3, 3, - 2$

Passaggio 7