Algebra Esempi

$y = \log_{5} (2 x)$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \log_{5} (2 y)$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $\log_{5} (2 y) = x$ .

$\log_{5} (2 y) = x$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\log_{5} (2 y) = x$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{x} = 2 y$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Riscrivi l'equazione come $2 y = 5^{x}$ .

$2 y = 5^{x}$

Passaggio 2.3.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = 5^{x}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = 5^{x}$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{5^{x}}{2}$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{2} = \frac{5^{x}}{2}$

Passaggio 2.3.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{5^{x}}{2}$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2}$ è l'inverso di $f (x) = \log_{5} (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (\log_{5} (2 x))$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x)) = \frac{5^{\log_{5} (2 x)}}{2}$

Passaggio 4.2.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x)) = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 4.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x)) = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 4.2.4.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x)) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (\frac{5^{x}}{2})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{5^{x}}{2}) = \log_{5} (2 (\frac{5^{x}}{2}))$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5^{x}}{2}) = \log_{5} (2 (\frac{5^{x}}{2}))$

Passaggio 4.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5^{x}}{2}) = \log_{5} (5^{x})$

Passaggio 4.3.4

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $x$ dall'esponente.

$f (\frac{5^{x}}{2}) = x \log_{5} (5)$

Passaggio 4.3.5

Il logaritmo in base $5$ di $5$ è $1$ .

$f (\frac{5^{x}}{2}) = x \cdot 1$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (\frac{5^{x}}{2}) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2}$ è l'inverso di $f (x) = \log_{5} (2 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2}$