Algebra Esempi

$\log_{2} (2 x^{3} - 8) - 2 \log_{2} (x) = \log_{2} (x)$

Passaggio 1

Sottrai $\log_{2} (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\log_{2} (2 x^{3} - 8) - 2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x) = 0$

Passaggio 2

Semplifica $\log_{2} (2 x^{3} - 8) - 2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{2 x^{3} - 8}{x}) - 2 \log_{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $2$ da $2 x^{3} - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $2$ da $2 x^{3}$ .

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3}) - 8}{x}) - 2 \log_{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $2$ da $- 8$ .

$\log_{2} (\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 4}{x}) - 2 \log_{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $2$ da $2 x^{3} + 2 \cdot - 4$ .

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4)}{x}) - 2 \log_{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.2

Semplifica $- 2 \log_{2} (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4)}{x}) - \log_{2} (x^{2}) = 0$

Passaggio 2.3

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{\frac{2 (x^{3} - 4)}{x}}{x^{2}}) = 0$

Passaggio 2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4)}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}) = 0$

Passaggio 2.5

Combina.

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4) \cdot 1}{x \cdot x^{2}}) = 0$

Passaggio 2.6

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4) \cdot 1}{x^{1} x^{2}}) = 0$

Passaggio 2.6.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4) \cdot 1}{x^{1 + 2}}) = 0$

Passaggio 2.6.2

Somma $1$ e $2$ .

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4) \cdot 1}{x^{3}}) = 0$

Passaggio 2.7

Moltiplica $2 (x^{3} - 4)$ per $1$ .

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4)}{x^{3}}) = 0$

Passaggio 3

Riscrivi $\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4)}{x^{3}}) = 0$ nella forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b$ $\neq$ $1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{0} = \frac{2 (x^{3} - 4)}{x^{3}}$

Passaggio 4

Esegui la moltiplicazione incrociata per rimuovere la frazione.

$2 (x^{3} - 4) = 2^{0} (x^{3})$

Passaggio 5

Semplifica $2^{0} (x^{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$2 (x^{3} - 4) = 1 x^{3}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $x^{3}$ per $1$ .

$2 (x^{3} - 4) = x^{3}$

Passaggio 6

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sottrai $x^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 (x^{3} - 4) - x^{3} = 0$

Passaggio 6.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{3} + 2 \cdot - 4 - x^{3} = 0$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$2 x^{3} - 8 - x^{3} = 0$

Passaggio 6.3

Sottrai $x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$x^{3} - 8 = 0$

Passaggio 7

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$x^{3} - 2^{3} = 0$

Passaggio 7.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Passaggio 7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

Passaggio 7.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Passaggio 8

Semplifica $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Espandi $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Passaggio 8.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{1} x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Passaggio 8.2.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{1 + 2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Passaggio 8.2.1.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$x^{3} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Passaggio 8.2.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{3} + 2 x \cdot x + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.3.1

Sposta $x$ .

$x^{3} + 2 (x \cdot x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Passaggio 8.2.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{3} + 2 x^{2} + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Passaggio 8.2.1.4

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$x^{3} + 2 x^{2} + 4 \cdot x - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Passaggio 8.2.1.5

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot 4 = 0$

Passaggio 8.2.1.6

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 8 = 0$

Passaggio 8.2.2

Combina i termini opposti in $x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Sottrai $2 x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$x^{3} + 4 x + 0 - 4 x - 8 = 0$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $x^{3} + 4 x$ e $0$ .

$x^{3} + 4 x - 4 x - 8 = 0$

Passaggio 8.2.2.3

Sottrai $4 x$ da $4 x$ .

$x^{3} + 0 - 8 = 0$

Passaggio 8.2.2.4

Somma $x^{3}$ e $0$ .

$x^{3} - 8 = 0$

Passaggio 9

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} = 8$

Passaggio 10

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} - 8 = 0$

Passaggio 11

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$x^{3} - 2^{3} = 0$

Passaggio 11.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Passaggio 11.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

Passaggio 11.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Passaggio 12

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Passaggio 13

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 13.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 14

Imposta $x^{2} + 2 x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Imposta $x^{2} + 2 x + 4$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Passaggio 14.2

Risolvi $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 14.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 2$ e $c = 4$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 14.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.3.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 14.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 14.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 14.2.3.1.3

Sottrai $16$ da $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 14.2.3.1.4

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 14.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 14.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 14.2.3.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.3.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 14.2.3.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 14.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 14.2.3.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 14.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 14.2.3.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 14.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.4.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 14.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 14.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 14.2.4.1.3

Sottrai $16$ da $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 14.2.4.1.4

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 14.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 14.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 14.2.4.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.4.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 14.2.4.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 14.2.4.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 14.2.4.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 14.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 14.2.4.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 14.2.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Passaggio 14.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.5.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 14.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 14.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 14.2.5.1.3

Sottrai $16$ da $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 14.2.5.1.4

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 14.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 14.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 14.2.5.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.5.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 14.2.5.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 14.2.5.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 14.2.5.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 14.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 14.2.5.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 14.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Passaggio 14.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Passaggio 15

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ vera.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$