Algebra Esempi

$f (x) = \frac{x + 20}{x - 5}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{x + 20}{x - 5}$ come un'equazione.

$y = \frac{x + 20}{x - 5}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{y + 20}{y - 5}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica l'equazione per $y - 5$ .

$(y - 5) (x) = (\frac{y + 20}{y - 5}) (y - 5)$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y x - 5 x = (\frac{y + 20}{y - 5}) (y - 5)$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $y - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$y x - 5 x = \frac{y + 20}{y - 5} (y - 5)$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y x - 5 x = y + 20$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y x - 5 x - y = 20$

Passaggio 3.4.2

Somma $5 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y x - y = 20 + 5 x$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $y$ da $y x - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Scomponi $y$ da $y x$ .

$y (x) - y = 20 + 5 x$

Passaggio 3.4.3.2

Scomponi $y$ da $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = 20 + 5 x$

Passaggio 3.4.3.3

Scomponi $y$ da $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 20 + 5 x$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $x - 1$ ciascun termine in $y (x - 1) = 20 + 5 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $x - 1$ ciascun termine in $y (x - 1) = 20 + 5 x$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{20}{x - 1} + \frac{5 x}{x - 1}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{20}{x - 1} + \frac{5 x}{x - 1}$

Passaggio 3.4.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{20}{x - 1} + \frac{5 x}{x - 1}$

Passaggio 3.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{20 + 5 x}{x - 1}$

Passaggio 3.4.4.3.2

Scomponi $5$ da $20 + 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.2.1

Scomponi $5$ da $20$ .

$y = \frac{5 \cdot 4 + 5 x}{x - 1}$

Passaggio 3.4.4.3.2.2

Scomponi $5$ da $5 \cdot 4 + 5 x$ .

$y = \frac{5 (4 + x)}{x - 1}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 (4 + x)}{x - 1}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{5 (4 + x)}{x - 1}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x + 20}{x - 5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{5 (4 + \frac{x + 20}{x - 5})}{(\frac{x + 20}{x - 5}) - 1}$

Passaggio 5.2.3

Rimuovi le parentesi.

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{5 (4 + \frac{x + 20}{x - 5})}{(\frac{x + 20}{x - 5}) - 1}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{4 (x - 5)}{x - 5} + \frac{x + 20}{x - 5})}{\frac{x + 20}{x - 5} - 1}$

Passaggio 5.2.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{4 (x - 5) + x + 20}{x - 5})}{\frac{x + 20}{x - 5} - 1}$

Passaggio 5.2.4.3

Riordina i termini.

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{x + 4 (x - 5) + 20}{x - 5})}{\frac{x + 20}{x - 5} - 1}$

Passaggio 5.2.4.4

Riscrivi $\frac{x + 4 (x - 5) + 20}{x - 5}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{x + 4 x + 4 \cdot - 5 + 20}{x - 5})}{\frac{x + 20}{x - 5} - 1}$

Passaggio 5.2.4.4.2

Moltiplica $4$ per $- 5$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{x + 4 x - 20 + 20}{x - 5})}{\frac{x + 20}{x - 5} - 1}$

Passaggio 5.2.4.4.3

Somma $x$ e $4 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{5 x - 20 + 20}{x - 5})}{\frac{x + 20}{x - 5} - 1}$

Passaggio 5.2.4.4.4

Somma $- 20$ e $20$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{5 x + 0}{x - 5})}{\frac{x + 20}{x - 5} - 1}$

Passaggio 5.2.4.4.5

Somma $5 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{5 x}{x - 5})}{\frac{x + 20}{x - 5} - 1}$

Passaggio 5.2.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{5 x}{x - 5})}{\frac{x + 20}{x - 5} - 1 \cdot \frac{x - 5}{x - 5}}$

Passaggio 5.2.5.2

$- 1$ e $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{5 x}{x - 5})}{\frac{x + 20}{x - 5} + \frac{- (x - 5)}{x - 5}}$

Passaggio 5.2.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{5 x}{x - 5})}{\frac{x + 20 - (x - 5)}{x - 5}}$

Passaggio 5.2.5.4

Riscrivi $\frac{x + 20 - (x - 5)}{x - 5}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{5 x}{x - 5})}{\frac{x + 20 - x + 5}{x - 5}}$

Passaggio 5.2.5.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{5 x}{x - 5})}{\frac{x + 20 - x + 5}{x - 5}}$

Passaggio 5.2.5.4.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{5 x}{x - 5})}{\frac{0 + 20 + 5}{x - 5}}$

Passaggio 5.2.5.4.4

Somma $0$ e $20$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{5 x}{x - 5})}{\frac{20 + 5}{x - 5}}$

Passaggio 5.2.5.4.5

Somma $20$ e $5$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{5 x}{x - 5})}{\frac{25}{x - 5}}$

Passaggio 5.2.6

$5$ e $\frac{5 x}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (5 x)}{x - 5}}{\frac{25}{x - 5}}$

Passaggio 5.2.7

Moltiplica $5$ per $5$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{\frac{25 x}{x - 5}}{\frac{25}{x - 5}}$

Passaggio 5.2.8

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{25 x}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{25}$

Passaggio 5.2.9

Elimina il fattore comune di $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.1

Scomponi $25$ da $25 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{25 (x)}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{25}$

Passaggio 5.2.9.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{25 x}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{25}$

Passaggio 5.2.9.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{x}{x - 5} \cdot (x - 5)$

Passaggio 5.2.10

Elimina il fattore comune di $x - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.10.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = \frac{x}{x - 5} \cdot (x - 5)$

Passaggio 5.2.10.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{x + 20}{x - 5}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{(\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) + 20}{(\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) - 5}$

Passaggio 5.3.3

Elimina il fattore comune di $(\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) + 20$ e $(\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Scomponi $5$ da $\frac{5 (4 + x)}{x - 1}$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{5 (\frac{4 + x}{x - 1}) + 20}{(\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) - 5}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $5$ da $20$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{5 (\frac{4 + x}{x - 1}) + 5 (4)}{(\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) - 5}$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $5$ da $5 \frac{4 + x}{x - 1} + 5 (4)$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{5 (\frac{4 + x}{x - 1} + 4)}{(\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) - 5}$

Passaggio 5.3.3.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.4.1

Scomponi $5$ da $\frac{5 (4 + x)}{x - 1}$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{5 (\frac{4 + x}{x - 1} + 4)}{5 (\frac{4 + x}{x - 1}) - 5}$

Passaggio 5.3.3.4.2

Scomponi $5$ da $- 5$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{5 (\frac{4 + x}{x - 1} + 4)}{5 (\frac{4 + x}{x - 1}) + 5 (- 1)}$

Passaggio 5.3.3.4.3

Scomponi $5$ da $5 \frac{4 + x}{x - 1} + 5 (- 1)$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{5 (\frac{4 + x}{x - 1} + 4)}{5 (\frac{4 + x}{x - 1} - 1)}$

Passaggio 5.3.3.4.4

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{5 (\frac{4 + x}{x - 1} + 4)}{5 (\frac{4 + x}{x - 1} - 1)}$

Passaggio 5.3.3.4.5

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{\frac{4 + x}{x - 1} + 4}{\frac{4 + x}{x - 1} - 1}$

Passaggio 5.3.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Moltiplica $\frac{\frac{4 + x}{x - 1} + 4}{\frac{4 + x}{x - 1} - 1}$ per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{4 + x}{x - 1} + 4}{\frac{4 + x}{x - 1} - 1}$

Passaggio 5.3.4.2

Combina.

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{4 + x}{x - 1} + 4)}{(x - 1) (\frac{4 + x}{x - 1} - 1)}$

Passaggio 5.3.5

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{4 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 4}{(x - 1) (\frac{4 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 5.3.6

Semplifica cancellando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{4 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 4}{(x - 1) (\frac{4 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 5.3.6.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{4 + x + (x - 1) \cdot 4}{(x - 1) (\frac{4 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 5.3.6.2

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{4 + x + (x - 1) \cdot 4}{(x - 1) (\frac{4 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 5.3.6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{4 + x + (x - 1) \cdot 4}{4 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 5.3.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{4 + x + x \cdot 4 - 1 \cdot 4}{4 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 5.3.7.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{4 + x + 4 \cdot x - 1 \cdot 4}{4 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 5.3.7.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{4 + x + 4 \cdot x - 4}{4 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 5.3.7.4

Sottrai $4$ da $4$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{x + 4 x + 0}{4 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 5.3.7.5

Somma $x + 4 x$ e $0$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{x + 4 x}{4 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 5.3.7.6

Somma $x$ e $4 x$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{5 x}{4 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 5.3.8

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{5 x}{4 + x + x \cdot - 1 - 1 \cdot - 1}$

Passaggio 5.3.8.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{5 x}{4 + x - 1 \cdot x - 1 \cdot - 1}$

Passaggio 5.3.8.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{5 x}{4 + x - 1 \cdot x + 1}$

Passaggio 5.3.8.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{5 x}{4 + x - x + 1}$

Passaggio 5.3.8.5

Somma $4$ e $1$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{5 x}{x - x + 5}$

Passaggio 5.3.8.6

Sottrai $x$ da $x$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{5 x}{0 + 5}$

Passaggio 5.3.8.7

Somma $0$ e $5$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{5 x}{5}$

Passaggio 5.3.9

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.9.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = \frac{5 x}{5}$

Passaggio 5.3.9.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f (\frac{5 (4 + x)}{x - 1}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{5 (4 + x)}{x - 1}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x + 20}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 (4 + x)}{x - 1}$