Algebra Esempi

$y = e^{x - 5}$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = e^{y - 5}$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $e^{y - 5} = x$ .

$e^{y - 5} = x$

Passaggio 2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{y - 5}) = \ln (x)$

Passaggio 2.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Espandi $\ln (e^{y - 5})$ spostando $y - 5$ fuori dal logaritmo.

$(y - 5) \ln (e) = \ln (x)$

Passaggio 2.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$(y - 5) \cdot 1 = \ln (x)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $y - 5$ per $1$ .

$y - 5 = \ln (x)$

Passaggio 2.4

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \ln (x) + 5$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (x) + 5$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \ln (x) + 5$ è l'inverso di $f (x) = e^{x - 5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (e^{x - 5})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5}) = \ln (e^{x - 5}) + 5$

Passaggio 4.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $x - 5$ dall'esponente.

$f^{- 1} (e^{x - 5}) = (x - 5) \ln (e) + 5$

Passaggio 4.2.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5}) = (x - 5) \cdot 1 + 5$

Passaggio 4.2.3.3

Moltiplica $x - 5$ per $1$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5}) = x - 5 + 5$

Passaggio 4.2.4

Combina i termini opposti in $x - 5 + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Somma $- 5$ e $5$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5}) = x + 0$

Passaggio 4.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5}) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (\ln (x) + 5)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\ln (x) + 5) = e^{(\ln (x) + 5) - 5}$

Passaggio 4.3.3

Combina i termini opposti in $(\ln (x) + 5) - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Sottrai $5$ da $5$ .

$f (\ln (x) + 5) = e^{\ln (x) + 0}$

Passaggio 4.3.3.2

Somma $\ln (x)$ e $0$ .

$f (\ln (x) + 5) = e^{\ln (x)}$

Passaggio 4.3.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln (x) + 5) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \ln (x) + 5$ è l'inverso di $f (x) = e^{x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x) + 5$