Algebra Esempi

$y = {(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = {(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come ${(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}} = x$ .

${(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}} = x$

Passaggio 2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln ({(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \ln (x)$

Passaggio 2.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Espandi $\ln ({(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}})$ spostando $\frac{1}{2}$ fuori dal logaritmo.

$\frac{1}{2} \ln (\frac{5^{y}}{2}) = \ln (x)$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\ln (\frac{5^{y}}{2})$ come $\ln (5^{y}) - \ln (2)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (5^{y}) - \ln (2)) = \ln (x)$

Passaggio 2.3.3

Espandi $\ln (5^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$\frac{1}{2} (y \ln (5) - \ln (2)) = \ln (x)$

Passaggio 2.4

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Semplifica $\frac{1}{2} (y \ln (5) - \ln (2))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} (y \ln (5)) + \frac{1}{2} (- \ln (2)) = \ln (x)$

Passaggio 2.4.1.2

Moltiplica $\frac{1}{2} (y \ln (5))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.2.1

$y$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y}{2} \ln (5) + \frac{1}{2} (- \ln (2)) = \ln (x)$

Passaggio 2.4.1.2.2

$\frac{y}{2}$ e $\ln (5)$ .

$\frac{y \ln (5)}{2} + \frac{1}{2} (- \ln (2)) = \ln (x)$

Passaggio 2.4.1.3

$\frac{1}{2}$ e $\ln (2)$ .

$\frac{y \ln (5)}{2} - \frac{\ln (2)}{2} = \ln (x)$

Passaggio 2.5

Moltiplica per $2$ ciascun termine in $\frac{y \ln (5)}{2} - \frac{\ln (2)}{2} = \ln (x)$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{y \ln (5)}{2} - \frac{\ln (2)}{2} = \ln (x)$ per $2$ .

$\frac{y \ln (5)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \ln (5)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

Passaggio 2.5.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y \ln (5) - \frac{\ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

Passaggio 2.5.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\ln (2)}{2}$ nel numeratore.

$y \ln (5) + \frac{- \ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

Passaggio 2.5.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y \ln (5) + \frac{- \ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

Passaggio 2.5.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y \ln (5) - \ln (2) = \ln (x) \cdot 2$

Passaggio 2.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $\ln (x)$ .

$y \ln (5) - \ln (2) = 2 \ln (x)$

Passaggio 2.6

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$y \ln (5) - \ln (2) - 2 \ln (x) = 0$

Passaggio 2.7

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Somma $\ln (2)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y \ln (5) - 2 \ln (x) = \ln (2)$

Passaggio 2.7.2

Somma $2 \ln (x)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y \ln (5) = \ln (2) + 2 \ln (x)$

Passaggio 2.8

Dividi per $\ln (5)$ ciascun termine in $y \ln (5) = \ln (2) + 2 \ln (x)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Dividi per $\ln (5)$ ciascun termine in $y \ln (5) = \ln (2) + 2 \ln (x)$ .

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

Passaggio 2.8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

Passaggio 2.8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$ è l'inverso di $f (x) = {(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}})}{\ln (5)}$

Passaggio 4.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + 2 \ln ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}})}{\ln (5)}$

Passaggio 4.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{5^{x}}{2}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + 2 \ln (\frac{{(5^{x})}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}{\ln (5)}$

Passaggio 4.2.4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(5^{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + 2 \ln (\frac{5^{x (\frac{1}{2})}}{2^{\frac{1}{2}}})}{\ln (5)}$

Passaggio 4.2.4.2.2

$x$ e $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + 2 \ln (\frac{5^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}{\ln (5)}$

Passaggio 4.2.4.3

Semplifica $2 \ln (\frac{5^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln ({(\frac{5^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2})}{\ln (5)}$

Passaggio 4.2.4.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{5^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{{(5^{\frac{x}{2}})}^{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{\ln (5)}$

Passaggio 4.2.4.5

Moltiplica gli esponenti in ${(5^{\frac{x}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{\frac{x}{2} \cdot 2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{\ln (5)}$

Passaggio 4.2.4.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{\frac{x}{2} \cdot 2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{\ln (5)}$

Passaggio 4.2.4.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{\ln (5)}$

Passaggio 4.2.4.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.6.1

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.6.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{\ln (5)}$

Passaggio 4.2.4.6.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.6.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{\ln (5)}$

Passaggio 4.2.4.6.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{2})}{\ln (5)}$

Passaggio 4.2.4.6.2

Calcola l'esponente.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{2})}{\ln (5)}$

Passaggio 4.2.5

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2 (\frac{5^{x}}{2}))}{\ln (5)}$

Passaggio 4.2.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2 (\frac{5^{x}}{2}))}{\ln (5)}$

Passaggio 4.2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (5^{x})}{\ln (5)}$

Passaggio 4.2.7

Espandi $\ln (5^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{x \ln (5)}{\ln (5)}$

Passaggio 4.2.8

Elimina il fattore comune di $\ln (5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{x \ln (5)}{\ln (5)}$

Passaggio 4.2.8.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica $2 \ln (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{\ln (x^{2})}{\ln (5)}}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\frac{\ln (2) + \ln (x^{2})}{\ln (5)}}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.3.4.2

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\frac{\ln (2 x^{2})}{\ln (5)}}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.3.4.3

Usa la variazione della regola base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\log_{5} (2 x^{2})}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.3.4.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{2 x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.3.5

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{2 x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.3.5.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.3.5.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = x^{2 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 4.3.5.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = x^{2 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 4.3.5.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$ è l'inverso di $f (x) = {(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$