Algebra Esempi

$p (x) = (x^{2} + 6 x + 9) (x + 3)$

Passaggio 1

Semplifica e riordina il polinomio in ordine ascendente per usare la regola di Cartesio.

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Passaggio 1.1

Espandi $(x^{2} + 6 x + 9) (x + 3)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$x^{2} x + x^{2} \cdot 3 + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 3 + 9 x + 9 \cdot 3$

Passaggio 1.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.2.1.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 1.2.1.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 3 + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 3 + 9 x + 9 \cdot 3$

Passaggio 1.2.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 3 + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 3 + 9 x + 9 \cdot 3$

Passaggio 1.2.1.1.2

Somma $2$ e $1$ .

$x^{3} + x^{2} \cdot 3 + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 3 + 9 x + 9 \cdot 3$

Passaggio 1.2.1.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 \cdot x^{2} + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 3 + 9 x + 9 \cdot 3$

Passaggio 1.2.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.2.1.3.1

Sposta $x$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot 3 + 9 x + 9 \cdot 3$

Passaggio 1.2.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + 6 x^{2} + 6 x \cdot 3 + 9 x + 9 \cdot 3$

Passaggio 1.2.1.4

Moltiplica $3$ per $6$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + 6 x^{2} + 18 x + 9 x + 9 \cdot 3$

Passaggio 1.2.1.5

Moltiplica $9$ per $3$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + 6 x^{2} + 18 x + 9 x + 27$

Passaggio 1.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 1.2.2.1

Somma $3 x^{2}$ e $6 x^{2}$ .

$x^{3} + 9 x^{2} + 18 x + 9 x + 27$

Passaggio 1.2.2.2

Somma $18 x$ e $9 x$ .

$x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$

Passaggio 2

Per trovare il possibile numero di radici positive, guarda i segni dei coefficienti e conta il numero di volte in cui i coefficienti cambiano da positivo a negativo o viceversa.

$f (x) = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$

Passaggio 3

Poiché ci sono $0$ cambiamenti di segno dal termine di ordine più alto a quello di ordine più basso, ci sono al massimo $0$ radici positive (Regola di Cartesio).

Radici positive: $0$

Passaggio 4

Per trovare il possibile numero di radici negative, sostituisci $x$ con $- x$ e ripeti il confronto dei segni.

$f (- x) = {(- x)}^{3} + 9 {(- x)}^{2} + 27 (- x) + 27$

Passaggio 5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = {(- 1)}^{3} x^{3} + 9 {(- x)}^{2} + 27 (- x) + 27$

Passaggio 5.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- x) = - x^{3} + 9 {(- x)}^{2} + 27 (- x) + 27$

Passaggio 5.3

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = - x^{3} + 9 ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 27 (- x) + 27$

Passaggio 5.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- x) = - x^{3} + 9 (1 x^{2}) + 27 (- x) + 27$

Passaggio 5.5

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f (- x) = - x^{3} + 9 x^{2} + 27 (- x) + 27$

Passaggio 5.6

Moltiplica $- 1$ per $27$ .

$f (- x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 27 x + 27$

Passaggio 6

Poiché ci sono $3$ cambiamenti di segno dal termine di ordine più alto a quello di ordine più basso, ci sono al massimo $3$ radici negative (Regola di Cartesio). È possibile trovare gli altri numeri possibili di radici negative sottraendo le coppie di radici (ad es. $3 - 2$ ).

Radici negative: $3$ o $1$

Passaggio 7

Il numero di radici positive possibili è $0$ e il numero di radici negative possibili è $3$ o $1$ .

Radici positive: $0$

Radici negative: $3$ o $1$