Algebra Esempi

$y = \frac{e^{3 x}}{\ln (5 x)}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{3 x}$ e $g (x) = \ln (5 x)$ .

$\frac{\ln (5 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}] - e^{3 x} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]}{\ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 x$ .

$\frac{\ln (5 x) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]}{\ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{\ln (5 x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]}{\ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x$ .

$\frac{\ln (5 x) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]}{\ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\ln (5 x) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]}{\ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\ln (5 x) (e^{3 x} (3 \cdot 1)) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]}{\ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{\ln (5 x) (e^{3 x} \cdot 3) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]}{\ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 3.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$\frac{\ln (5 x) (3 \cdot e^{3 x}) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]}{\ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $5 x$ .

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) - e^{3 x} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])}{\ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 4.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) - e^{3 x} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x])}{\ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $5 x$ .

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) - e^{3 x} (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])}{\ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{5 x}$ e $e^{3 x}$ .

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]}{\ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 5.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])}{\ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 5.3

Semplifica i termini.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) - 5 \frac{e^{3 x}}{5 x} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 5.3.2

$- 5$ e $\frac{e^{3 x}}{5 x}$ .

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) + \frac{- 5 e^{3 x}}{5 x} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 5.3.3

Elimina il fattore comune di $- 5$ e $5$ .

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Passaggio 5.3.3.1

Scomponi $5$ da $- 5 e^{3 x}$ .

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) + \frac{5 (- e^{3 x})}{5 x} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 5.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.3.3.2.1

Scomponi $5$ da $5 x$ .

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) + \frac{5 (- e^{3 x})}{5 (x)} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) + \frac{5 (- e^{3 x})}{5 x} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 5.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) + \frac{- e^{3 x}}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 5.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 5.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{x} \cdot 1}{\ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 5.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{x}}{\ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{3 \ln (5 x) e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{x}}{\ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 6.1.1.2

Semplifica $3 \ln (5 x)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln ({(5 x)}^{3}) e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{x}}{\ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 6.1.1.3

Applica la regola del prodotto a $5 x$ .

$\frac{\ln (5^{3} x^{3}) e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{x}}{\ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 6.1.1.4

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$\frac{\ln (125 x^{3}) e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{x}}{\ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 6.1.2

Riordina i fattori in $\ln (125 x^{3}) e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{x}$ .

$\frac{e^{3 x} \ln (125 x^{3}) - \frac{e^{3 x}}{x}}{\ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 6.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.2.1

Scomponi $e^{3 x}$ da $e^{3 x} \ln (125 x^{3}) - \frac{e^{3 x}}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Scomponi $e^{3 x}$ da $e^{3 x} \ln (125 x^{3})$ .

$\frac{e^{3 x} (\ln (125 x^{3})) - \frac{e^{3 x}}{x}}{\ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 6.2.1.2

Scomponi $e^{3 x}$ da $- \frac{e^{3 x}}{x}$ .

$\frac{e^{3 x} (\ln (125 x^{3})) + e^{3 x} (- \frac{1}{x})}{\ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 6.2.1.3

Scomponi $e^{3 x}$ da $e^{3 x} (\ln (125 x^{3})) + e^{3 x} (- \frac{1}{x})$ .

$\frac{e^{3 x} (\ln (125 x^{3}) - \frac{1}{x})}{\ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 6.2.2

Per scrivere $\ln (125 x^{3})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{3 x} (\frac{\ln (125 x^{3}) x}{x} - \frac{1}{x})}{\ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 6.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{e^{3 x} \frac{\ln (125 x^{3}) x - 1}{x}}{\ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 6.3

$e^{3 x}$ e $\frac{\ln (125 x^{3}) x - 1}{x}$ .

$\frac{\frac{e^{3 x} (\ln (125 x^{3}) x - 1)}{x}}{\ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 6.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{e^{3 x} (\ln (125 x^{3}) x - 1)}{x} \cdot \frac{1}{\ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 6.5

Combina.

$\frac{e^{3 x} (\ln (125 x^{3}) x - 1) \cdot 1}{x \ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 6.6

Moltiplica $e^{3 x}$ per $1$ .

$\frac{e^{3 x} (\ln (125 x^{3}) x - 1)}{x \ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 6.7

Riordina i fattori in $\frac{e^{3 x} (\ln (125 x^{3}) x - 1)}{x \ln^{2} (5 x)}$ .

$\frac{e^{3 x} (x \ln (125 x^{3}) - 1)}{x \ln^{2} (5 x)}$