Algebra Esempi

$y = \frac{\sin (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \sin (2 x)$ e $g (x) = 1 + \cos (2 x)$ .

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$\frac{(1 + \cos (2 x)) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 2.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$\frac{(1 + \cos (2 x)) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{(1 + \cos (2 x)) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) (2 \cdot 1) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $(1 + \cos (2 x)) \cos (2 x)$ .

$\frac{2 \cdot ((1 + \cos (2 x)) \cos (2 x)) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 3.6

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 4.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 5

Moltiplica.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + 1 \sin (2 x) (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\sin (2 x)$ per $1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + \sin (2 x) (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 6

Eleva $\sin (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + \sin^{1} (2 x) \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 7

Eleva $\sin (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + {\sin (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 9

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 10

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + \sin^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + \sin^{2} (2 x) (2 \cdot 1)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 12

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 12.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + \sin^{2} (2 x) \cdot 2}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 12.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sin^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + 2 \cdot \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 \cos (2 x)) \cos (2 x) + 2 \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 13.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \cdot 1 \cos (2 x) + 2 \cos (2 x) \cos (2 x) + 2 \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 13.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 13.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 13.3.1.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos (2 x) \cos (2 x) + 2 \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 13.3.1.2

Moltiplica $2 \cos (2 x) \cos (2 x)$ .

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Passaggio 13.3.1.2.1

Eleva $\cos (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 (\cos^{1} (2 x) \cos (2 x)) + 2 \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 13.3.1.2.2

Eleva $\cos (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 (\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x)) + 2 \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 13.3.1.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 {\cos (2 x)}^{1 + 1} + 2 \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 13.3.1.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (2 x) + 2 \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 13.3.2

Scomponi $2$ da $2 \cos^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 (\cos^{2} (2 x)) + 2 \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 13.3.3

Scomponi $2$ da $2 \sin^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 (\cos^{2} (2 x)) + 2 (\sin^{2} (2 x))}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 13.3.4

Scomponi $2$ da $2 (\cos^{2} (2 x)) + 2 (\sin^{2} (2 x))$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 (\cos^{2} (2 x) + \sin^{2} (2 x))}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 13.3.5

Rimetti in ordine i termini.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 (\sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x))}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 13.3.6

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cdot 1}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 13.3.7

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 13.4

Riordina i termini.

$\frac{2 + 2 \cos (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 13.5

Scomponi $2$ da $2 + 2 \cos (2 x)$ .

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Passaggio 13.5.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cos (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 13.5.2

Scomponi $2$ da $2 \cdot 1 + 2 \cos (2 x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (2 x))}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 13.6

Elimina il fattore comune di $1 + \cos (2 x)$ e ${(1 + \cos (2 x))}^{2}$ .

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Passaggio 13.6.1

Scomponi $1 + \cos (2 x)$ da $2 (1 + \cos (2 x))$ .

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \cdot 2}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

Passaggio 13.6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 13.6.2.1

Scomponi $1 + \cos (2 x)$ da ${(1 + \cos (2 x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \cdot 2}{(1 + \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}$

Passaggio 13.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \cdot 2}{(1 + \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}$

Passaggio 13.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{1 + \cos (2 x)}$