Algebra Esempi

${(5 x)}^{3 \cos (2 x)}$

Passaggio 1

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 1.1

Scomponi $5$ da $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 (x))}^{3 \cos (2 x)}]$

Passaggio 1.2

Applica la regola del prodotto a $5 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)} x^{3 \cos (2 x)}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 5^{3 \cos (2 x)}$ e $g (x) = x^{3 \cos (2 x)}$ .

$5^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [x^{3 \cos (2 x)}] + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Passaggio 3

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Passaggio 3.1

Riscrivi $x^{3 \cos (2 x)}$ come $e^{\ln (x^{3 \cos (2 x)})}$ .

$5^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{3 \cos (2 x)})}] + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Passaggio 3.2

Espandi $\ln (x^{3 \cos (2 x)})$ spostando $3 \cos (2 x)$ fuori dal logaritmo.

$5^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [e^{3 \cos (2 x) \ln (x)}] + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 \cos (2 x) \ln (x)$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 \cos (2 x) \ln (x)$ .

$5^{3 \cos (2 x)} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 \cos (2 x) \ln (x)]) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$5^{3 \cos (2 x)} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 \cos (2 x) \ln (x)]) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 \cos (2 x) \ln (x)$ .

$5^{3 \cos (2 x)} (e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [3 \cos (2 x) \ln (x)]) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 5.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \cos (2 x) \ln (x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \ln (x)]$ .

$5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (3 \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \ln (x)]) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Passaggio 5.2

Sposta $3$ alla sinistra di $5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)}$ .

$3 \cdot (5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)}) \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \ln (x)] + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos (2 x)$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Passaggio 7

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\cos (2 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Passaggio 8

$\cos (2 x)$ e $\frac{1}{x}$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 9.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Passaggio 9.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Passaggio 9.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Passaggio 10

Differenzia.

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Passaggio 10.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Passaggio 10.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Passaggio 10.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1)) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Passaggio 10.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Passaggio 11

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = 5^{x}$ e $g (x) = 3 \cos (2 x)$ .

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Passaggio 11.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $3 \cos (2 x)$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) + x^{3 \cos (2 x)} (\frac{d}{d u_{3}} [5^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [3 \cos (2 x)])$

Passaggio 11.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ è $a^{u_{3}} \ln (a)$ dove $a$ = $5$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) + x^{3 \cos (2 x)} (5^{u_{3}} \ln (5) \frac{d}{d x} [3 \cos (2 x)])$

Passaggio 11.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $3 \cos (2 x)$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) + x^{3 \cos (2 x)} (5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \frac{d}{d x} [3 \cos (2 x)])$

Passaggio 12

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 12.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) + x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) (3 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Passaggio 12.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5)$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) + 3 \cdot (x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Passaggio 13

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 13.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{4}$ come $2 x$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) + 3 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) (\frac{d}{d u_{4}} [\cos (u_{4})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 13.2

La derivata di $\cos (u_{4})$ rispetto a $u_{4}$ è $- \sin (u_{4})$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) + 3 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) (- \sin (u_{4}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 13.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{4}$ con $2 x$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) + 3 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 14

Differenzia.

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Passaggio 14.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) - 3 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 14.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) - 3 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 14.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) - 6 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 14.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) - 6 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \sin (2 x) \cdot 1$

Passaggio 14.5

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) - 6 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \sin (2 x)$

Passaggio 15

Semplifica.

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Passaggio 15.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} \frac{\cos (2 x)}{x} + 3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\ln (x) (- 2 \sin (2 x))) - 6 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \sin (2 x)$

Passaggio 15.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 15.2.1

$3$ e $\frac{\cos (2 x)}{x}$ .

$5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} \frac{3 \cos (2 x)}{x} + 3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\ln (x) (- 2 \sin (2 x))) - 6 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \sin (2 x)$

Passaggio 15.2.2

$\frac{3 \cos (2 x)}{x}$ e $5^{3 \cos (2 x)}$ .

$\frac{3 \cos (2 x) \cdot 5^{3 \cos (2 x)}}{x} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} + 3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\ln (x) (- 2 \sin (2 x))) - 6 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \sin (2 x)$

Passaggio 15.2.3

$\frac{3 \cos (2 x) \cdot 5^{3 \cos (2 x)}}{x}$ e $e^{3 \cos (2 x) \ln (x)}$ .

$\frac{3 \cos (2 x) \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)}}{x} + 3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\ln (x) (- 2 \sin (2 x))) - 6 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \sin (2 x)$

Passaggio 15.2.4

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$\frac{3 \cos (2 x) \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)}}{x} - 6 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} \ln (x) \sin (2 x) - 6 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \sin (2 x)$

Passaggio 15.3

Riordina i termini.

$- 6 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} \sin (2 x) \ln (x) - 6 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} x^{3 \cos (2 x)} \sin (2 x) \ln (5) + \frac{3 \cos (2 x) \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)}}{x}$