Algebra Esempi

$\ln (x^{3} \sin^{2} (x))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{3} \sin^{2} (x)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{3} \sin^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{3} \sin^{2} (x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3} \sin^{2} (x)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{3} \sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [x^{3} \sin^{2} (x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\sin (x)$ .

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sin (x)$ .

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 4

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 6.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 6.2.1

$x^{3}$ e $\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ .

$\frac{x^{3}}{x^{3} \sin^{2} (x)} (2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 6.2.2

$2$ e $\frac{x^{3}}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ .

$\frac{2 x^{3}}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin (x) \cos (x)) + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 6.2.3

$\sin (x)$ e $\frac{2 x^{3}}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (2 x^{3})}{x^{3} \sin^{2} (x)} \cos (x) + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 6.2.4

$\frac{\sin (x) (2 x^{3})}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (2 x^{3}) \cos (x)}{x^{3} \sin^{2} (x)} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 6.2.5

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ e $\sin^{2} (x)$ .

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Passaggio 6.2.5.1

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin (x) (2 x^{3}) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) ((2 x^{3}) \cos (x))}{x^{3} \sin^{2} (x)} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 6.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.2.5.2.1

Scomponi $\sin (x)$ da $x^{3} \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) ((2 x^{3}) \cos (x))}{\sin (x) (x^{3} \sin (x))} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 6.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sin (x) ((2 x^{3}) \cos (x))}{\sin (x) (x^{3} \sin (x))} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 6.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(2 x^{3}) \cos (x)}{x^{3} \sin (x)} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 6.2.6

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

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Passaggio 6.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{3} \cos (x)}{x^{3} \sin (x)} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 6.2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(2) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 6.2.7

Converti da $\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$ a $2 \cot (x)$ .

$2 \cot (x) + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 6.2.8

$\sin^{2} (x)$ e $\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ .

$2 \cot (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{x^{3} \sin^{2} (x)} (3 x^{2})$

Passaggio 6.2.9

$3$ e $\frac{\sin^{2} (x)}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ .

$2 \cot (x) + \frac{3 \sin^{2} (x)}{x^{3} \sin^{2} (x)} x^{2}$

Passaggio 6.2.10

$\frac{3 \sin^{2} (x)}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ e $x^{2}$ .

$2 \cot (x) + \frac{3 \sin^{2} (x) x^{2}}{x^{3} \sin^{2} (x)}$

Passaggio 6.2.11

Elimina il fattore comune di $\sin^{2} (x)$ .

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Passaggio 6.2.11.1

Elimina il fattore comune.

$2 \cot (x) + \frac{3 \sin^{2} (x) x^{2}}{x^{3} \sin^{2} (x)}$

Passaggio 6.2.11.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \cot (x) + \frac{3 x^{2}}{x^{3}}$

Passaggio 6.2.12

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x^{3}$ .

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Passaggio 6.2.12.1

Scomponi $x^{2}$ da $3 x^{2}$ .

$2 \cot (x) + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3}}$

Passaggio 6.2.12.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.2.12.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3}$ .

$2 \cot (x) + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

Passaggio 6.2.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cot (x) + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

Passaggio 6.2.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \cot (x) + \frac{3}{x}$

Passaggio 6.3

Riordina i termini.

$\frac{3}{x} + 2 \cot (x)$