Algebra Esempi

$f (x) = 6 x^{4} (9 x^{2} - 4 x + 8)$

Passaggio 1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{4} (9 x^{2} - 4 x + 8)$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{4} (9 x^{2} - 4 x + 8)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{4} (9 x^{2} - 4 x + 8)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 9 x^{2} - 4 x + 8$ .

$6 (x^{4} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 4 x + 8] + (9 x^{2} - 4 x + 8) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{2} - 4 x + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$6 (x^{4} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [8]) + (9 x^{2} - 4 x + 8) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 3.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 (x^{4} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [8]) + (9 x^{2} - 4 x + 8) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 (x^{4} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [8]) + (9 x^{2} - 4 x + 8) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 3.4

Moltiplica $2$ per $9$ .

$6 (x^{4} (18 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [8]) + (9 x^{2} - 4 x + 8) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 3.5

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 (x^{4} (18 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]) + (9 x^{2} - 4 x + 8) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 (x^{4} (18 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]) + (9 x^{2} - 4 x + 8) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 3.7

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$6 (x^{4} (18 x - 4 + \frac{d}{d x} [8]) + (9 x^{2} - 4 x + 8) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 3.8

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 (x^{4} (18 x - 4 + 0) + (9 x^{2} - 4 x + 8) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 3.9

Somma $18 x - 4$ e $0$ .

$6 (x^{4} (18 x - 4) + (9 x^{2} - 4 x + 8) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 3.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$6 (x^{4} (18 x - 4) + (9 x^{2} - 4 x + 8) (4 x^{3}))$

Passaggio 3.11

Sposta $4$ alla sinistra di $9 x^{2} - 4 x + 8$ .

$6 (x^{4} (18 x - 4) + 4 \cdot (9 x^{2} - 4 x + 8) x^{3})$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 (x^{4} (18 x) + x^{4} \cdot - 4 + 4 (9 x^{2} - 4 x + 8) x^{3})$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$6 (x^{4} (18 x) + x^{4} \cdot - 4 + (4 (9 x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 8) x^{3})$

Passaggio 4.3

Applica la proprietà distributiva.

$6 (x^{4} (18 x) + x^{4} \cdot - 4 + 4 (9 x^{2}) x^{3} + 4 (- 4 x) x^{3} + 4 \cdot 8 x^{3})$

Passaggio 4.4

Applica la proprietà distributiva.

$6 (x^{4} (18 x)) + 6 (x^{4} \cdot - 4) + 6 (4 (9 x^{2}) x^{3}) + 6 (4 (- 4 x) x^{3}) + 6 (4 \cdot 8 x^{3})$

Passaggio 4.5

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.5.1.1

Sposta $x$ .

$6 (x \cdot x^{4} \cdot 18) + 6 (x^{4} \cdot - 4) + 6 (4 (9 x^{2}) x^{3}) + 6 (4 (- 4 x) x^{3}) + 6 (4 \cdot 8 x^{3})$

Passaggio 4.5.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

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Passaggio 4.5.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$6 (x^{1} x^{4} \cdot 18) + 6 (x^{4} \cdot - 4) + 6 (4 (9 x^{2}) x^{3}) + 6 (4 (- 4 x) x^{3}) + 6 (4 \cdot 8 x^{3})$

Passaggio 4.5.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 (x^{1 + 4} \cdot 18) + 6 (x^{4} \cdot - 4) + 6 (4 (9 x^{2}) x^{3}) + 6 (4 (- 4 x) x^{3}) + 6 (4 \cdot 8 x^{3})$

Passaggio 4.5.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$6 (x^{5} \cdot 18) + 6 (x^{4} \cdot - 4) + 6 (4 (9 x^{2}) x^{3}) + 6 (4 (- 4 x) x^{3}) + 6 (4 \cdot 8 x^{3})$

Passaggio 4.5.2

Sposta $18$ alla sinistra di $x^{5}$ .

$6 (18 \cdot x^{5}) + 6 (x^{4} \cdot - 4) + 6 (4 (9 x^{2}) x^{3}) + 6 (4 (- 4 x) x^{3}) + 6 (4 \cdot 8 x^{3})$

Passaggio 4.5.3

Moltiplica $18$ per $6$ .

$108 x^{5} + 6 (x^{4} \cdot - 4) + 6 (4 (9 x^{2}) x^{3}) + 6 (4 (- 4 x) x^{3}) + 6 (4 \cdot 8 x^{3})$

Passaggio 4.5.4

Sposta $- 4$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$108 x^{5} + 6 (- 4 \cdot x^{4}) + 6 (4 (9 x^{2}) x^{3}) + 6 (4 (- 4 x) x^{3}) + 6 (4 \cdot 8 x^{3})$

Passaggio 4.5.5

Moltiplica $- 4$ per $6$ .

$108 x^{5} - 24 x^{4} + 6 (4 (9 x^{2}) x^{3}) + 6 (4 (- 4 x) x^{3}) + 6 (4 \cdot 8 x^{3})$

Passaggio 4.5.6

Moltiplica $9$ per $4$ .

$108 x^{5} - 24 x^{4} + 6 (36 x^{2} x^{3}) + 6 (4 (- 4 x) x^{3}) + 6 (4 \cdot 8 x^{3})$

Passaggio 4.5.7

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.5.7.1

Sposta $x^{3}$ .

$108 x^{5} - 24 x^{4} + 6 (36 (x^{3} x^{2})) + 6 (4 (- 4 x) x^{3}) + 6 (4 \cdot 8 x^{3})$

Passaggio 4.5.7.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$108 x^{5} - 24 x^{4} + 6 (36 x^{3 + 2}) + 6 (4 (- 4 x) x^{3}) + 6 (4 \cdot 8 x^{3})$

Passaggio 4.5.7.3

Somma $3$ e $2$ .

$108 x^{5} - 24 x^{4} + 6 (36 x^{5}) + 6 (4 (- 4 x) x^{3}) + 6 (4 \cdot 8 x^{3})$

Passaggio 4.5.8

Moltiplica $36$ per $6$ .

$108 x^{5} - 24 x^{4} + 216 x^{5} + 6 (4 (- 4 x) x^{3}) + 6 (4 \cdot 8 x^{3})$

Passaggio 4.5.9

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$108 x^{5} - 24 x^{4} + 216 x^{5} + 6 (- 16 x \cdot x^{3}) + 6 (4 \cdot 8 x^{3})$

Passaggio 4.5.10

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.5.10.1

Sposta $x^{3}$ .

$108 x^{5} - 24 x^{4} + 216 x^{5} + 6 (- 16 (x^{3} x)) + 6 (4 \cdot 8 x^{3})$

Passaggio 4.5.10.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

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Passaggio 4.5.10.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$108 x^{5} - 24 x^{4} + 216 x^{5} + 6 (- 16 (x^{3} x^{1})) + 6 (4 \cdot 8 x^{3})$

Passaggio 4.5.10.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$108 x^{5} - 24 x^{4} + 216 x^{5} + 6 (- 16 x^{3 + 1}) + 6 (4 \cdot 8 x^{3})$

Passaggio 4.5.10.3

Somma $3$ e $1$ .

$108 x^{5} - 24 x^{4} + 216 x^{5} + 6 (- 16 x^{4}) + 6 (4 \cdot 8 x^{3})$

Passaggio 4.5.11

Moltiplica $- 16$ per $6$ .

$108 x^{5} - 24 x^{4} + 216 x^{5} - 96 x^{4} + 6 (4 \cdot 8 x^{3})$

Passaggio 4.5.12

Moltiplica $4$ per $8$ .

$108 x^{5} - 24 x^{4} + 216 x^{5} - 96 x^{4} + 6 (32 x^{3})$

Passaggio 4.5.13

Moltiplica $32$ per $6$ .

$108 x^{5} - 24 x^{4} + 216 x^{5} - 96 x^{4} + 192 x^{3}$

Passaggio 4.5.14

Somma $108 x^{5}$ e $216 x^{5}$ .

$324 x^{5} - 24 x^{4} - 96 x^{4} + 192 x^{3}$

Passaggio 4.5.15

Sottrai $96 x^{4}$ da $- 24 x^{4}$ .

$324 x^{5} - 120 x^{4} + 192 x^{3}$