Algebra Esempi

$- (y - 4) = x + 9$ , $x - \frac{8}{3} y = 0$

Passaggio 1

Scrivi ciascuna equazione del piano in forma standard.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- y - - 4 = x + 9, x - \frac{8}{3} y = 0$

Passaggio 1.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$- y + 4 = x + 9, x - \frac{8}{3} y = 0$

Passaggio 1.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y = x + 9 - 4, x - \frac{8}{3} y = 0$

Passaggio 1.3

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y - x = 9 - 4, x - \frac{8}{3} y = 0$

Passaggio 1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

$y$ e $\frac{8}{3}$ .

$- y - x = 9 - 4, x - \frac{y \cdot 8}{3} = 0$

Passaggio 1.4.2

Sposta $8$ alla sinistra di $y$ .

$- y - x = 9 - 4, x - \frac{8 y}{3} = 0$

Passaggio 1.5

Sottrai $4$ da $9$ .

$- y - x = 5, x - \frac{8 y}{3} = 0$

Passaggio 2

Per determinare l'intersezione di una retta passante per il punto $(p, q, r)$ e perpendicolare al piano $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ e al piano $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. Trova i vettori normali del piano $P_{1}$ e del piano $P_{2}$ , dove i vettori normali sono $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ e $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Verifica se il prodotto scalare è 0.

2. Crea una serie di equazioni parametriche tale che $x = p + a t$ , $y = q + b t$ e $z = r + c t$ .

3. Sostituisci queste equazioni nell'equazione del piano $P_{2}$ in modo tale che $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ e risolvi per $t$ .

4. usando il valore di $t$ , risolvi le equazioni parametriche $x = p + a t$ , $y = q + b t$ e $z = r + c t$ per $t$ per trovare l'intersezione $(x, y, z)$ .

Passaggio 3

Trova i vettori normali per ciascun piano e determina se sono perpendicolari calcolando il prodotto scalare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$P_{1}$ è $- y - x = 5$ . Calcola il vettore normale $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ dall'equazione del piano della forma $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ - 1, - 1, 0 ⟩$

Passaggio 3.2

$P_{2}$ è $x - \frac{8 y}{3} = 0$ . Calcola il vettore normale $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ dall'equazione del piano della forma $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 1, - \frac{8}{3}, 0 ⟩$

Passaggio 3.3

Calcola il prodotto scalare di $n_{1}$ e $n_{2}$ sommando i prodotti dei corrispondenti valori $x$ , $y$ e $z$ nei vettori normali.

$- 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- \frac{8}{3}) + 0 \cdot 0$

Passaggio 3.4

Semplifica il prodotto scalare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Rimuovi le parentesi.

$- 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- \frac{8}{3}) + 0 \cdot 0$

Passaggio 3.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 - 1 \cdot (- \frac{8}{3}) + 0 \cdot 0$

Passaggio 3.4.2.2

Moltiplica $- 1 (- \frac{8}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- 1 + 1 (\frac{8}{3}) + 0 \cdot 0$

Passaggio 3.4.2.2.2

Moltiplica $\frac{8}{3}$ per $1$ .

$- 1 + \frac{8}{3} + 0 \cdot 0$

Passaggio 3.4.2.3

Moltiplica $0$ per $0$ .

$- 1 + \frac{8}{3} + 0$

Passaggio 3.4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3} + 0$

Passaggio 3.4.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3} + 0$

Passaggio 3.4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1 \cdot 3 + 8}{3} + 0$

Passaggio 3.4.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{- 3 + 8}{3} + 0$

Passaggio 3.4.6.2

Somma $- 3$ e $8$ .

$\frac{5}{3} + 0$

Passaggio 3.4.7

Somma $\frac{5}{3}$ e $0$ .

$\frac{5}{3}$

Passaggio 4

Quindi costruisci una serie di equazioni parametriche $x = p + a t$ , $y = q + b t$ e $z = r + c t$ usando l'origine $(0, 0, 0)$ per il punto $(p, q, r)$ e i valori del vettore normale $\frac{5}{3}$ per i valori di $a$ , $b$ e $c$ . Questa serie di equazioni parametriche rappresenta la retta attraverso l'origine perpendicolare a $P_{1}$ $- y - x = 5$ .

$x = 0 + - 1 \cdot t$

$y = 0 + - 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Passaggio 5

Sostituisci l'espressione a $x$ , $y$ e $z$ nell'equazione per $P_{2}$ $x - \frac{8 y}{3} = 0$ .

$(0 - 1 \cdot t) - \frac{8 (0 - 1 \cdot t)}{3} = 0$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica $(0 - 1 \cdot t) - \frac{8 (0 - 1 \cdot t)}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Combina i termini opposti in $(0 - 1 \cdot t) - \frac{8 (0 - 1 \cdot t)}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Sottrai $1 \cdot t$ da $0$ .

$- 1 \cdot t - \frac{8 (0 - 1 \cdot t)}{3} = 0$

Passaggio 6.1.1.2

Sottrai $1 \cdot t$ da $0$ .

$- 1 \cdot t - \frac{8 (- 1 \cdot t)}{3} = 0$

Passaggio 6.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Riscrivi $- 1 t$ come $- t$ .

$- t - \frac{8 (- 1 \cdot t)}{3} = 0$

Passaggio 6.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- t - \frac{- 8 t}{3} = 0$

Passaggio 6.1.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- t - - \frac{8 t}{3} = 0$

Passaggio 6.1.2.4

Moltiplica $- - \frac{8 t}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- t + 1 \frac{8 t}{3} = 0$

Passaggio 6.1.2.4.2

Moltiplica $\frac{8 t}{3}$ per $1$ .

$- t + \frac{8 t}{3} = 0$

Passaggio 6.1.3

Per scrivere $- t$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- t \cdot \frac{3}{3} + \frac{8 t}{3} = 0$

Passaggio 6.1.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.1

$- t$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- t \cdot 3}{3} + \frac{8 t}{3} = 0$

Passaggio 6.1.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- t \cdot 3 + 8 t}{3} = 0$

Passaggio 6.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.5.1

Scomponi $t$ da $- t \cdot 3 + 8 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.5.1.1

Scomponi $t$ da $- t \cdot 3$ .

$\frac{t (- 1 \cdot 3) + 8 t}{3} = 0$

Passaggio 6.1.5.1.2

Scomponi $t$ da $8 t$ .

$\frac{t (- 1 \cdot 3) + t \cdot 8}{3} = 0$

Passaggio 6.1.5.1.3

Scomponi $t$ da $t (- 1 \cdot 3) + t \cdot 8$ .

$\frac{t (- 1 \cdot 3 + 8)}{3} = 0$

Passaggio 6.1.5.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{t (- 3 + 8)}{3} = 0$

Passaggio 6.1.5.3

Somma $- 3$ e $8$ .

$\frac{t \cdot 5}{3} = 0$

Passaggio 6.1.6

Sposta $5$ alla sinistra di $t$ .

$\frac{5 t}{3} = 0$

Passaggio 6.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$5 t = 0$

Passaggio 6.3

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 t = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 t = 0$ .

$\frac{5 t}{5} = \frac{0}{5}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 t}{5} = \frac{0}{5}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Dividi $t$ per $1$ .

$t = \frac{0}{5}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Dividi $0$ per $5$ .

$t = 0$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione parametrica per $x$ , $y$ e $z$ usando il valore di $t$

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 0 - 1 \cdot 0$

Passaggio 7.1.2

Sottrai $0$ da $0$ .

$x = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi l'equazione per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 0 - 1 \cdot 0$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $0$ da $0$ .

$y = 0$

Passaggio 7.3

Risolvi l'equazione per $z$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Rimuovi le parentesi.

$z = 0 + 0 \cdot (0)$

Passaggio 7.3.2

Semplifica $0 + 0 \cdot (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Moltiplica $0$ per $0$ .

$z = 0 + 0$

Passaggio 7.3.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$z = 0$

Passaggio 7.4

Le equazioni parametriche risolte per $x$ , $y$ e $z$ .

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

Passaggio 8

Usando i valori calcolati per $x$ , $y$ e $z$ , il punto di intersezione risulta essere $(0, 0, 0)$ .

$(0, 0, 0)$