Algebra Esempi

$w (x) = x^{4} + 5 x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 9$

Passaggio 1

Raggruppa i termini.

$w (x) = - 3 x - 9 + x^{4} + 5 x^{3} + 6 x^{2}$

Passaggio 2

Scomponi $- 3$ da $- 3 x - 9$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi $- 3$ da $- 3 x$ .

$w (x) = - 3 x - 9 + x^{4} + 5 x^{3} + 6 x^{2}$

Passaggio 2.2

Scomponi $- 3$ da $- 9$ .

$w (x) = - 3 x - 3 \cdot 3 + x^{4} + 5 x^{3} + 6 x^{2}$

Passaggio 2.3

Scomponi $- 3$ da $- 3 (x) - 3 (3)$ .

$w (x) = - 3 (x + 3) + x^{4} + 5 x^{3} + 6 x^{2}$

Passaggio 3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4} + 5 x^{3} + 6 x^{2}$ .

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Passaggio 3.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4}$ .

$w (x) = - 3 (x + 3) + x^{2} x^{2} + 5 x^{3} + 6 x^{2}$

Passaggio 3.2

Scomponi $x^{2}$ da $5 x^{3}$ .

$w (x) = - 3 (x + 3) + x^{2} x^{2} + x^{2} (5 x) + 6 x^{2}$

Passaggio 3.3

Scomponi $x^{2}$ da $6 x^{2}$ .

$w (x) = - 3 (x + 3) + x^{2} x^{2} + x^{2} (5 x) + x^{2} \cdot 6$

Passaggio 3.4

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} x^{2} + x^{2} (5 x)$ .

$w (x) = - 3 (x + 3) + x^{2} (x^{2} + 5 x) + x^{2} \cdot 6$

Passaggio 3.5

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (x^{2} + 5 x) + x^{2} \cdot 6$ .

$w (x) = - 3 (x + 3) + x^{2} (x^{2} + 5 x + 6)$

Passaggio 4

Scomponi.

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Passaggio 4.1

Scomponi $x^{2} + 5 x + 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 4.1.1

Considera la forma $x^{2} + i x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $i$ . In questo caso, il cui prodotto è $6$ e la cui somma è $5$ .

$w (x) = 2, 3$

Passaggio 4.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$w (x) = - 3 (x + 3) + x^{2} ((x + 2) (x + 3))$

Passaggio 4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$w (x) = - 3 (x + 3) + x^{2} (x + 2) (x + 3)$

Passaggio 5

Scomponi $x + 3$ da $- 3 (x + 3) + x^{2} (x + 2) (x + 3)$ .

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Passaggio 5.1

Scomponi $x + 3$ da $- 3 (x + 3)$ .

$w (x) = (x + 3) \cdot - 3 + x^{2} (x + 2) (x + 3)$

Passaggio 5.2

Scomponi $x + 3$ da $x^{2} (x + 2) (x + 3)$ .

$w (x) = (x + 3) \cdot - 3 + (x + 3) (x^{2} (x + 2))$

Passaggio 5.3

Scomponi $x + 3$ da $(x + 3) \cdot - 3 + (x + 3) (x^{2} (x + 2))$ .

$w (x) = (x + 3) (- 3 + x^{2} (x + 2))$

Passaggio 6

Applica la proprietà distributiva.

$w (x) = (x + 3) (- 3 + x^{2} x + x^{2} \cdot 2)$

Passaggio 7

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 7.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$w (x) = (x + 3) (- 3 + x^{2} x + x^{2} \cdot 2)$

Passaggio 7.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$w (x) = (x + 3) (- 3 + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 2)$

Passaggio 7.2

Somma $2$ e $1$ .

$w (x) = (x + 3) (- 3 + x^{3} + x^{2} \cdot 2)$

Passaggio 8

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$w (x) = (x + 3) (- 3 + x^{3} + 2 x^{2})$

Passaggio 9

Riordina i termini.

$w (x) = (x + 3) (x^{3} + 2 x^{2} - 3)$

Passaggio 10

Scomponi.

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Passaggio 10.1

Scomponi $x^{3} + 2 x^{2} - 3$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 10.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$w (x) = p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Passaggio 10.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$w (x) = \pm 1, \pm 3$

Passaggio 10.1.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 10.1.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$w (x) = 1^{3} + 2 \cdot 1^{2} - 3$

Passaggio 10.1.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$w (x) = 1 + 2 \cdot 1^{2} - 3$

Passaggio 10.1.3.3

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$w (x) = 1 + 2 \cdot 1 - 3$

Passaggio 10.1.3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$w (x) = 1 + 2 - 3$

Passaggio 10.1.3.5

Somma $1$ e $2$ .

$w (x) = 3 - 3$

Passaggio 10.1.3.6

Sottrai $3$ da $3$ .

$w (x) = 0$

Passaggio 10.1.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$w (x) = \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 3}{x - 1}$

Passaggio 10.1.5

Dividi $x^{3} + 2 x^{2} - 3$ per $x - 1$ .

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Passaggio 10.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$w (x) =$

Passaggio 10.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$w (x) =$

Passaggio 10.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$w (x) =$

Passaggio 10.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - x^{2}$

$w (x) =$

Passaggio 10.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$w (x) =$

Passaggio 10.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$w (x) =$

Passaggio 10.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$w (x) =$

Passaggio 10.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$w (x) =$

Passaggio 10.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 x^{2} - 3 x$

$w (x) =$

Passaggio 10.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$w (x) =$

Passaggio 10.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$w (x) =$

Passaggio 10.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$w (x) =$

Passaggio 10.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$w (x) =$

Passaggio 10.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 x - 3$

$w (x) =$

Passaggio 10.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$w (x) =$

Passaggio 10.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$w (x) = x^{2} + 3 x + 3$

Passaggio 10.1.6

Scrivi $x^{3} + 2 x^{2} - 3$ come insieme di fattori.

$w (x) = (x + 3) ((x - 1) (x^{2} + 3 x + 3))$

Passaggio 10.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$w (x) = (x + 3) (x - 1) (x^{2} + 3 x + 3)$