Algebra Esempi

$5 x^{2} + 9 y^{2} + 10 x - 54 y + 41$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'ellissi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sottrai $5 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y - 5 x^{2} = 9 y^{2} + 10 x - 54 y + 41$

Passaggio 1.1.2

Sottrai $9 y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y - 5 x^{2} - 9 y^{2} = 10 x - 54 y + 41$

Passaggio 1.1.3

Sottrai $10 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y - 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x = - 54 y + 41$

Passaggio 1.1.4

Somma $54 y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y - 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 54 y = 41$

Passaggio 1.1.5

Somma $y$ e $54 y$ .

$- 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 55 y = 41$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $- 5 x^{2} - 10 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 5$

$b = - 10$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 10}{2 \cdot - 5}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 10$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 10$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 5}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot - 5$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 (- 5)}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 5}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 5}{- 5}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{- 5}{- 5}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$d = 1$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot - 5}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 10$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot - 5}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 5$ .

$e = 0 - \frac{100}{- 20}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Dividi $100$ per $- 20$ .

$e = 0 - - 5$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$e = 0 + 5$

Passaggio 1.2.4.2.2

Somma $0$ e $5$ .

$e = 5$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- 5 {(x + 1)}^{2} + 5$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} + 5$

Passaggio 1.3

Sostituisci $- 5 x^{2} - 10 x$ con $- 5 {(x + 1)}^{2} + 5$ nell'equazione $- 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 55 y = 41$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} + 5 - 9 y^{2} + 55 y = 41$

Passaggio 1.4

Sposta $5$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $5$ a entrambi i lati.

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 y^{2} + 55 y = 41 - 5$

Passaggio 1.5

Completa il quadrato per $- 9 y^{2} + 55 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 9$

$b = 55$

$c = 0$

Passaggio 1.5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{55}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$d = \frac{55}{- 18}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$d = - \frac{55}{18}$

Passaggio 1.5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{55^{2}}{4 \cdot - 9}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Eleva $55$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{3025}{4 \cdot - 9}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 9$ .

$e = 0 - \frac{3025}{- 36}$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e = 0 - - \frac{3025}{36}$

Passaggio 1.5.4.2.1.4

Moltiplica $- - \frac{3025}{36}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{3025}{36})$

Passaggio 1.5.4.2.1.4.2

Moltiplica $\frac{3025}{36}$ per $1$ .

$e = 0 + \frac{3025}{36}$

Passaggio 1.5.4.2.2

Somma $0$ e $\frac{3025}{36}$ .

$e = \frac{3025}{36}$

Passaggio 1.5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36}$ .

$- 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $- 9 y^{2} + 55 y$ con $- 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36}$ nell'equazione $- 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 55 y = 41$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36} = 41 - 5$

Passaggio 1.7

Sposta $\frac{3025}{36}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $\frac{3025}{36}$ a entrambi i lati.

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = 41 - 5 - \frac{3025}{36}$

Passaggio 1.8

Semplifica $41 - 5 - \frac{3025}{36}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1.1

Scrivi $41$ come una frazione con denominatore $1$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41}{1} - 5 - \frac{3025}{36}$

Passaggio 1.8.1.2

Moltiplica $\frac{41}{1}$ per $\frac{36}{36}$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41}{1} \cdot \frac{36}{36} - 5 - \frac{3025}{36}$

Passaggio 1.8.1.3

Moltiplica $\frac{41}{1}$ per $\frac{36}{36}$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} - 5 - \frac{3025}{36}$

Passaggio 1.8.1.4

Scrivi $- 5$ come una frazione con denominatore $1$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} + \frac{- 5}{1} - \frac{3025}{36}$

Passaggio 1.8.1.5

Moltiplica $\frac{- 5}{1}$ per $\frac{36}{36}$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} + \frac{- 5}{1} \cdot \frac{36}{36} - \frac{3025}{36}$

Passaggio 1.8.1.6

Moltiplica $\frac{- 5}{1}$ per $\frac{36}{36}$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} + \frac{- 5 \cdot 36}{36} - \frac{3025}{36}$

Passaggio 1.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36 - 5 \cdot 36 - 3025}{36}$

Passaggio 1.8.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.3.1

Moltiplica $41$ per $36$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1476 - 5 \cdot 36 - 3025}{36}$

Passaggio 1.8.3.2

Moltiplica $- 5$ per $36$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1476 - 180 - 3025}{36}$

Passaggio 1.8.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.4.1

Sottrai $180$ da $1476$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1296 - 3025}{36}$

Passaggio 1.8.4.2

Sottrai $3025$ da $1296$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{- 1729}{36}$

Passaggio 1.8.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = - \frac{1729}{36}$

Passaggio 1.9

Inverti il segno su ogni termine dell'equazione in modo che il termine sul lato destro sia positivo.

$5 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1729}{36}$

Passaggio 1.10

Dividi per $\frac{1729}{36}$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{5 {(x + 1)}^{2}}{\frac{1729}{36}} + \frac{9 {(y - \frac{55}{18})}^{2}}{\frac{1729}{36}} = \frac{\frac{1729}{36}}{\frac{1729}{36}}$

Passaggio 1.11

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{1729}{180}} + \frac{{(y - \frac{55}{18})}^{2}}{\frac{1729}{324}} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = \frac{\sqrt{8645}}{30}$

$b = \frac{\sqrt{1729}}{18}$

$k = \frac{55}{18}$

$h = - 1$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(- 1, \frac{55}{18})$

Passaggio 5