Algebra Esempi

$\ln (x^{4} + 27)$

Passaggio 1

Scrivi $\ln (x^{4} + 27)$ come funzione.

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$

Passaggio 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{4} + 27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{4} + 27$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Passaggio 2.1.1.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Passaggio 2.1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4} + 27$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 27$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])$

Passaggio 2.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])$

Passaggio 2.1.1.2.3

Poiché $27$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $27$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + 0)$

Passaggio 2.1.1.2.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.4.1

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3})$

Passaggio 2.1.1.2.4.2

$4$ e $\frac{1}{x^{4} + 27}$ .

$\frac{4}{x^{4} + 27} x^{3}$

Passaggio 2.1.1.2.4.3

$\frac{4}{x^{4} + 27}$ e $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

Passaggio 2.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{4} + 27$ .

$4 \frac{(x^{4} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 \frac{(x^{4} + 27) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{4} + 27$ .

$4 \frac{3 \cdot (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 27$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.3.5

Poiché $27$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $27$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.6.1

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.3.6.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.4

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.1

Sposta $x^{3}$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.4.3

Somma $3$ e $3$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.5

$4$ e $\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{4 (3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 ((3 x^{4} + 3 \cdot 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot 27 x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (3 x^{4} x^{2}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.6.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.6.4.1.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.6.4.1.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{4 (3 (x^{2} x^{4})) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.6.4.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 (3 x^{2 + 4}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.6.4.1.1.3

Somma $2$ e $4$ .

$\frac{4 (3 x^{6}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.6.4.1.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{12 x^{6} + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.6.4.1.3

Moltiplica $3$ per $27$ .

$\frac{12 x^{6} + 4 (81 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.6.4.1.4

Moltiplica $81$ per $4$ .

$\frac{12 x^{6} + 324 x^{2} + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.6.4.1.5

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$\frac{12 x^{6} + 324 x^{2} - 16 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.6.4.2

Sottrai $16 x^{6}$ da $12 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$- 4 x^{6} + 324 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1

Scomponi $- 4 x^{2}$ da $- 4 x^{6} + 324 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1.1

Scomponi $- 4 x^{2}$ da $- 4 x^{6}$ .

$- 4 x^{2} x^{4} + 324 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.3.1.1.2

Scomponi $- 4 x^{2}$ da $324 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 81 = 0$

Passaggio 2.2.3.1.1.3

Scomponi $- 4 x^{2}$ da $- 4 x^{2} (x^{4}) - 4 x^{2} (- 81)$ .

$- 4 x^{2} (x^{4} - 81) = 0$

Passaggio 2.2.3.1.2

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 81) = 0$

Passaggio 2.2.3.1.3

Riscrivi $81$ come $9^{2}$ .

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.3.1.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x^{2}$ e $b = 9$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)) = 0$

Passaggio 2.2.3.1.5

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.5.1.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

Passaggio 2.2.3.1.5.1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.5.1.2.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

Passaggio 2.2.3.1.5.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)) = 0$

Passaggio 2.2.3.1.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.2.3.3

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.3.3.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.2.3.3.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.2.3.3.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.2.3.3.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.2.3.4

Imposta $x^{2} + 9$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.4.1

Imposta $x^{2} + 9$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Passaggio 2.2.3.4.2

Risolvi $x^{2} + 9 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.4.2.1

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 9$

Passaggio 2.2.3.4.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Passaggio 2.2.3.4.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.4.2.3.1

Riscrivi $- 9$ come $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Passaggio 2.2.3.4.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (9)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Passaggio 2.2.3.4.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Passaggio 2.2.3.4.2.3.4

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 2.2.3.4.2.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm i \cdot 3$

Passaggio 2.2.3.4.2.3.6

Sposta $3$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm 3 i$

Passaggio 2.2.3.4.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.4.2.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 3 i$

Passaggio 2.2.3.4.2.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 3 i$

Passaggio 2.2.3.4.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 3 i, - 3 i$

Passaggio 2.2.3.5

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.5.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 2.2.3.5.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 2.2.3.6

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.6.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.2.3.6.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 2.2.3.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$ vera.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

Passaggio 3

Trova il dominio di $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta l'argomento in $\ln (x^{4} + 27)$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x^{4} + 27 > 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $27$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{4} > - 27$

Passaggio 3.2.2

Poiché il lato sinistro presenta una potenza pari, è sempre positivo per tutti i numeri reali.

Tutti i numeri reali

Passaggio 3.3

Il dominio è l'insieme di numeri reali.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, - 3)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 6$ nell'espressione.

$f'' (- 6) = \frac{- 4 {(- 6)}^{6} + 324 {(- 6)}^{2}}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $6$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 4 \cdot 46656 + 324 {(- 6)}^{2}}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 4$ per $46656$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 186624 + 324 {(- 6)}^{2}}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 186624 + 324 \cdot 36}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $324$ per $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 186624 + 11664}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.5

Somma $- 186624$ e $11664$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 174960}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 174960}{{(1296 + 27)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $1296$ e $27$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 174960}{1323^{2}}$

Passaggio 5.2.2.3

Eleva $1323$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 174960}{1750329}$

Passaggio 5.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 174960$ e $1750329$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Scomponi $729$ da $- 174960$ .

$f'' (- 6) = \frac{729 (- 240)}{1750329}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.2.1

Scomponi $729$ da $1750329$ .

$f'' (- 6) = \frac{729 \cdot - 240}{729 \cdot 2401}$

Passaggio 5.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (- 6) = \frac{729 \cdot - 240}{729 \cdot 2401}$

Passaggio 5.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- 6) = \frac{- 240}{2401}$

Passaggio 5.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- 6) = - \frac{240}{2401}$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è $- \frac{240}{2401}$ .

$- \frac{240}{2401}$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \infty, - 3)$ perché $f'' (- 6)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \infty, - 3)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- 3, 0)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f'' (- 2) = \frac{- 4 {(- 2)}^{6} + 324 {(- 2)}^{2}}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $6$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 \cdot 64 + 324 {(- 2)}^{2}}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 4$ per $64$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 256 + 324 {(- 2)}^{2}}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 256 + 324 \cdot 4}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $324$ per $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 256 + 1296}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.5

Somma $- 256$ e $1296$ .

$f'' (- 2) = \frac{1040}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{1040}{{(16 + 27)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $16$ e $27$ .

$f'' (- 2) = \frac{1040}{43^{2}}$

Passaggio 6.2.2.3

Eleva $43$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{1040}{1849}$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $\frac{1040}{1849}$ .

$\frac{1040}{1849}$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- 3, 0)$ perché $f'' (- 2)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- 3, 0)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 7

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(0, 3)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f'' (2) = \frac{- 4 {(2)}^{6} + 324 {(2)}^{2}}{{({(2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $6$ .

$f'' (2) = \frac{- 4 \cdot 64 + 324 \cdot 2^{2}}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 4$ per $64$ .

$f'' (2) = \frac{- 256 + 324 \cdot 2^{2}}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (2) = \frac{- 256 + 324 \cdot 4}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $324$ per $4$ .

$f'' (2) = \frac{- 256 + 1296}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.5

Somma $- 256$ e $1296$ .

$f'' (2) = \frac{1040}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f'' (2) = \frac{1040}{{(16 + 27)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $16$ e $27$ .

$f'' (2) = \frac{1040}{43^{2}}$

Passaggio 7.2.2.3

Eleva $43$ alla potenza di $2$ .

$f'' (2) = \frac{1040}{1849}$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $\frac{1040}{1849}$ .

$\frac{1040}{1849}$

Passaggio 7.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(0, 3)$ perché $f'' (2)$ è positivo.

Funzione convessa su $(0, 3)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 8

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(3, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f'' (6) = \frac{- 4 {(6)}^{6} + 324 {(6)}^{2}}{{({(6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $6$ .

$f'' (6) = \frac{- 4 \cdot 46656 + 324 \cdot 6^{2}}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $- 4$ per $46656$ .

$f'' (6) = \frac{- 186624 + 324 \cdot 6^{2}}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 186624 + 324 \cdot 36}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $324$ per $36$ .

$f'' (6) = \frac{- 186624 + 11664}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.5

Somma $- 186624$ e $11664$ .

$f'' (6) = \frac{- 174960}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Eleva $6$ alla potenza di $4$ .

$f'' (6) = \frac{- 174960}{{(1296 + 27)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $1296$ e $27$ .

$f'' (6) = \frac{- 174960}{1323^{2}}$

Passaggio 8.2.2.3

Eleva $1323$ alla potenza di $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 174960}{1750329}$

Passaggio 8.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 174960$ e $1750329$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.1

Scomponi $729$ da $- 174960$ .

$f'' (6) = \frac{729 (- 240)}{1750329}$

Passaggio 8.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.2.1

Scomponi $729$ da $1750329$ .

$f'' (6) = \frac{729 \cdot - 240}{729 \cdot 2401}$

Passaggio 8.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (6) = \frac{729 \cdot - 240}{729 \cdot 2401}$

Passaggio 8.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (6) = \frac{- 240}{2401}$

Passaggio 8.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (6) = - \frac{240}{2401}$

Passaggio 8.2.4

La risposta finale è $- \frac{240}{2401}$ .

$- \frac{240}{2401}$

Passaggio 8.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(3, \infty)$ perché $f'' (6)$ è negativo.

Funzione concava su $(3, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 9

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione concava su $(- \infty, - 3)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(- 3, 0)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione convessa su $(0, 3)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(3, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 10