Algebra Esempi

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{array}]$

Passaggio 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Passaggio 2

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\frac{2}{15} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{15} - \frac{1}{3 \cdot 5}$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\frac{2}{15} - \frac{1}{15}$

Passaggio 2.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 - 1}{15}$

Passaggio 2.2.3

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{1}{15}$

Passaggio 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Passaggio 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{\frac{1}{15}} [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & - \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{5} & \frac{1}{3} \end{array}]$

Passaggio 5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$1 \cdot 15 [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & - \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{5} & \frac{1}{3} \end{array}]$

Passaggio 6

Moltiplica $15$ per $1$ .

$15 [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & - \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{5} & \frac{1}{3} \end{array}]$

Passaggio 7

Moltiplica $15$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 15 (\frac{2}{5}) & 15 (- \frac{1}{3}) \\ 15 (- \frac{1}{5}) & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Passaggio 8

Semplifica ogni elemento nella matrice.

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Passaggio 8.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Scomponi $5$ da $15$ .

$[\begin{array}{c} 5 (3) \frac{2}{5} & 15 (- \frac{1}{3}) \\ 15 (- \frac{1}{5}) & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Passaggio 8.1.2

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} 5 \cdot 3 \frac{2}{5} & 15 (- \frac{1}{3}) \\ 15 (- \frac{1}{5}) & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Passaggio 8.1.3

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} 3 \cdot 2 & 15 (- \frac{1}{3}) \\ 15 (- \frac{1}{5}) & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Passaggio 8.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 15 (- \frac{1}{3}) \\ 15 (- \frac{1}{5}) & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Passaggio 8.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 8.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{3}$ nel numeratore.

$[\begin{array}{c} 6 & 15 (\frac{- 1}{3}) \\ 15 (- \frac{1}{5}) & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Passaggio 8.3.2

Scomponi $3$ da $15$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 3 (5) \frac{- 1}{3} \\ 15 (- \frac{1}{5}) & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Passaggio 8.3.3

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} 6 & 3 \cdot 5 \frac{- 1}{3} \\ 15 (- \frac{1}{5}) & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Passaggio 8.3.4

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} 6 & 5 \cdot - 1 \\ 15 (- \frac{1}{5}) & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Passaggio 8.4

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 5 \\ 15 (- \frac{1}{5}) & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Passaggio 8.5

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{5}$ nel numeratore.

$[\begin{array}{c} 6 & - 5 \\ 15 (\frac{- 1}{5}) & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Passaggio 8.5.2

Scomponi $5$ da $15$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 5 \\ 5 (3) \frac{- 1}{5} & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Passaggio 8.5.3

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} 6 & - 5 \\ 5 \cdot 3 \frac{- 1}{5} & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Passaggio 8.5.4

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} 6 & - 5 \\ 3 \cdot - 1 & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Passaggio 8.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 5 \\ - 3 & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Passaggio 8.7

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 8.7.1

Scomponi $3$ da $15$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 5 \\ - 3 & 3 (5) \frac{1}{3} \end{array}]$

Passaggio 8.7.2

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} 6 & - 5 \\ - 3 & 3 \cdot 5 \frac{1}{3} \end{array}]$

Passaggio 8.7.3

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} 6 & - 5 \\ - 3 & 5 \end{array}]$