Algebra Esempi

$\sqrt[3]{8^{x}}$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \sqrt[3]{8^{y}}$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt[3]{8^{y}} = x$ .

$\sqrt[3]{8^{y}} = x$

Passaggio 2.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt[3]{8^{y}}}^{3} = x^{3}$

Passaggio 2.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{8^{y}}$ come $8^{\frac{y}{3}}$ .

${(8^{\frac{y}{3}})}^{3} = x^{3}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(8^{\frac{y}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8^{\frac{y}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$8^{\frac{y}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$8^{y} = x^{3}$

Passaggio 2.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (8^{y}) = \ln (x^{3})$

Passaggio 2.4.2

Espandi $\ln (8^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (8) = \ln (x^{3})$

Passaggio 2.4.3

Dividi per $\ln (8)$ ciascun termine in $y \ln (8) = \ln (x^{3})$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Dividi per $\ln (8)$ ciascun termine in $y \ln (8) = \ln (x^{3})$ .

$\frac{y \ln (8)}{\ln (8)} = \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$

Passaggio 2.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (8)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \ln (8)}{\ln (8)} = \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$

Passaggio 2.4.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt[3]{8^{x}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{8^{x}})}^{3})}{\ln (8)}$

Passaggio 4.2.3

Riscrivi ${\sqrt[3]{8^{x}}}^{3}$ come $8^{x}$ .

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Passaggio 4.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{8^{x}}$ come $8^{\frac{x}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{\ln ({(8^{\frac{x}{3}})}^{3})}{\ln (8)}$

Passaggio 4.2.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{\ln (8^{\frac{x}{3} \cdot 3})}{\ln (8)}$

Passaggio 4.2.3.3

$\frac{x}{3}$ e $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{\ln (8^{\frac{x \cdot 3}{3}})}{\ln (8)}$

Passaggio 4.2.3.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{\ln (8^{\frac{x \cdot 3}{3}})}{\ln (8)}$

Passaggio 4.2.3.4.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{\ln (8^{x})}{\ln (8)}$

Passaggio 4.2.4

Espandi $\ln (8^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{x \ln (8)}{\ln (8)}$

Passaggio 4.2.5

Elimina il fattore comune di $\ln (8)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{x \ln (8)}{\ln (8)}$

Passaggio 4.2.5.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}) = \sqrt[3]{8^{\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}}}$

Passaggio 4.3.3

Usa la variazione della regola base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}) = \sqrt[3]{8^{\log_{8} (x^{3})}}$

Passaggio 4.3.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Passaggio 4.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$f (\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt[3]{8^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$