Algebra Esempi

$\ln (2 x) - 2$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \ln (2 y) - 2$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $\ln (2 y) - 2 = x$ .

$\ln (2 y) - 2 = x$

Passaggio 2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\ln (2 y) = x + 2$

Passaggio 2.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (2 y)} = e^{x + 2}$

Passaggio 2.4

Riscrivi $\ln (2 y) = x + 2$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x + 2} = 2 y$

Passaggio 2.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi l'equazione come $2 y = e^{x + 2}$ .

$2 y = e^{x + 2}$

Passaggio 2.5.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = e^{x + 2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = e^{x + 2}$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{e^{x + 2}}{2}$

Passaggio 2.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{2} = \frac{e^{x + 2}}{2}$

Passaggio 2.5.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{e^{x + 2}}{2}$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{2}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{2}$ è l'inverso di $f (x) = \ln (2 x) - 2$ .

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Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (\ln (2 x) - 2)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (2 x) - 2) = \frac{e^{(\ln (2 x) - 2) + 2}}{2}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Combina i termini opposti in $\ln (2 x) - 2 + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$f^{- 1} (\ln (2 x) - 2) = \frac{e^{\ln (2 x) + 0}}{2}$

Passaggio 4.2.3.1.2

Somma $\ln (2 x)$ e $0$ .

$f^{- 1} (\ln (2 x) - 2) = \frac{e^{\ln (2 x)}}{2}$

Passaggio 4.2.3.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f^{- 1} (\ln (2 x) - 2) = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 4.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\ln (2 x) - 2) = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 4.2.4.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\ln (2 x) - 2) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (\frac{e^{x + 2}}{2})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{2}) = \ln (2 (\frac{e^{x + 2}}{2})) - 2$

Passaggio 4.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{e^{x + 2}}{2}) = \ln (2 (\frac{e^{x + 2}}{2})) - 2$

Passaggio 4.3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{e^{x + 2}}{2}) = \ln (e^{x + 2}) - 2$

Passaggio 4.3.3.2

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $x + 2$ dall'esponente.

$f (\frac{e^{x + 2}}{2}) = (x + 2) \ln (e) - 2$

Passaggio 4.3.3.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{2}) = (x + 2) \cdot 1 - 2$

Passaggio 4.3.3.4

Moltiplica $x + 2$ per $1$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{2}) = x + 2 - 2$

Passaggio 4.3.4

Combina i termini opposti in $x + 2 - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{2}) = x + 0$

Passaggio 4.3.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{2}) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{2}$ è l'inverso di $f (x) = \ln (2 x) - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{2}$