Algebra Esempi

$z = x^{y} + \ln (x y)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (x^{y} + \ln (x y))$

Passaggio 2

La derivata di $z$ rispetto a $x$ è $z'$ .

$z'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia.

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Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{y} + \ln (x y)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = y$ .

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

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Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x y$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x y$ .

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.2.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x y$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.2.2

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} (y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} (y \cdot 1)$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} y$

Passaggio 3.2.5

$\frac{1}{x y}$ e $y$ .

$y x^{y - 1} + \frac{y}{x y}$

Passaggio 3.2.6

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 3.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$y x^{y - 1} + \frac{y}{x y}$

Passaggio 3.2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.3.1.1

Per scrivere $y x^{y - 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{y x^{y - 1} x}{x} + \frac{1}{x}$

Passaggio 3.3.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{y x^{y - 1} x + 1}{x}$

Passaggio 3.3.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y (x^{1} x^{y - 1}) + 1}{x}$

Passaggio 3.3.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{y x^{1 + y - 1} + 1}{x}$

Passaggio 3.3.1.5

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{y x^{y + 0} + 1}{x}$

Passaggio 3.3.1.6

Somma $y$ e $0$ .

$\frac{y x^{y} + 1}{x}$

Passaggio 3.3.2

Riordina i termini.

$\frac{x^{y} y + 1}{x}$

Passaggio 3.3.3

Riordina i fattori in $\frac{x^{y} y + 1}{x}$ .

$\frac{y x^{y} + 1}{x}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$z' = \frac{y x^{y} + 1}{x}$

Passaggio 5

Sostituisci $z'$ con $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = \frac{y x^{y} + 1}{x}$