Algebra Esempi

$y = x {(x - 4)}^{3}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x {(x - 4)}^{3})$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Usa il teorema binomiale.

$\frac{d}{d y} [x (x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 4 + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3})]$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$\frac{d}{d y} [x (x^{3} - 12 x^{2} + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3})]$

Passaggio 3.2.2

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{d}{d y} [x (x^{3} - 12 x^{2} + 3 x \cdot 16 + {(- 4)}^{3})]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $16$ per $3$ .

$\frac{d}{d y} [x (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + {(- 4)}^{3})]$

Passaggio 3.2.4

Eleva $- 4$ alla potenza di $3$ .

$\frac{d}{d y} [x (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64)]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = x$ e $g (y) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ .

$x \frac{d}{d y} [x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64] + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]$ .

$x (\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{3}$ e $g (y) = x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 3.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 3.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x$ .

$x (3 x^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 3.6

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$x (3 x^{2} x' + \frac{d}{d y} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 3.7

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 12 x^{2}$ rispetto a $y$ è $- 12 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$x (3 x^{2} x' - 12 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x$ .

$x (3 x^{2} x' - 12 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 3.8.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x (3 x^{2} x' - 12 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 3.8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x$ .

$x (3 x^{2} x' - 12 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 3.9

Moltiplica $2$ per $- 12$ .

$x (3 x^{2} x' - 24 (x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 3.10

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$x (3 x^{2} x' - 24 x x' + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 3.11

Poiché $48$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $48 x$ rispetto a $y$ è $48 \frac{d}{d y} [x]$ .

$x (3 x^{2} x' - 24 x x' + 48 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 3.12

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$x (3 x^{2} x' - 24 x x' + 48 x' + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 3.13

Poiché $- 64$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 64$ rispetto a $y$ è $0$ .

$x (3 x^{2} x' - 24 x x' + 48 x' + 0) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 3.14

Somma $3 x^{2} x' - 24 x x' + 48 x'$ e $0$ .

$x (3 x^{2} x' - 24 x x' + 48 x') + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 3.15

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$x (3 x^{2} x' - 24 x x' + 48 x') + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) x'$

Passaggio 3.16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (3 x^{2} x') + x (- 24 x x') + x (48 x') + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) x'$

Passaggio 3.16.2

Applica la proprietà distributiva.

$x (3 x^{2} x') + x (- 24 x x') + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Passaggio 3.16.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.3.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$3 (x^{1} x^{2}) x' + x (- 24 x x') + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Passaggio 3.16.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 x^{1 + 2} x' + x (- 24 x x') + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Passaggio 3.16.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$3 x^{3} x' + x (- 24 x x') + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Passaggio 3.16.3.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$3 x^{3} x' - 24 (x^{1} x) x' + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Passaggio 3.16.3.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$3 x^{3} x' - 24 (x^{1} x^{1}) x' + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Passaggio 3.16.3.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 x^{3} x' - 24 x^{1 + 1} x' + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Passaggio 3.16.3.7

Somma $1$ e $1$ .

$3 x^{3} x' - 24 x^{2} x' + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Passaggio 3.16.3.8

Somma $3 x^{3} x'$ e $x^{3} x'$ .

$4 x^{3} x' - 24 x^{2} x' + x (48 x') - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Passaggio 3.16.3.9

Sottrai $12 x^{2} x'$ da $- 24 x^{2} x'$ .

$4 x^{3} x' - 36 x^{2} x' + x (48 x') + 48 x x' - 64 x'$

Passaggio 3.16.3.10

Somma $x (48 x')$ e $48 x x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.3.10.1

Riordina $x$ e $48$ .

$4 x^{3} x' - 36 x^{2} x' + 48 \cdot x x' + 48 x x' - 64 x'$

Passaggio 3.16.3.10.2

Somma $48 \cdot x x'$ e $48 x x'$ .

$4 x^{3} x' - 36 x^{2} x' + 96 x x' - 64 x'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$1 = 4 x^{3} x' - 36 x^{2} x' + 96 x x' - 64 x'$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $4 x^{3} x' - 36 x^{2} x' + 96 x x' - 64 x' = 1$ .

$4 x^{3} x' - 36 x^{2} x' + 96 x x' - 64 x' = 1$

Passaggio 5.2

Scomponi $4 x'$ da $4 x^{3} x' - 36 x^{2} x' + 96 x x' - 64 x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $4 x'$ da $4 x^{3} x'$ .

$4 x' x^{3} - 36 x^{2} x' + 96 x x' - 64 x' = 1$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $4 x'$ da $- 36 x^{2} x'$ .

$4 x' x^{3} + 4 x' (- 9 x^{2}) + 96 x x' - 64 x' = 1$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $4 x'$ da $96 x x'$ .

$4 x' x^{3} + 4 x' (- 9 x^{2}) + 4 x' (24 x) - 64 x' = 1$

Passaggio 5.2.4

Scomponi $4 x'$ da $- 64 x'$ .

$4 x' x^{3} + 4 x' (- 9 x^{2}) + 4 x' (24 x) + 4 x' \cdot - 16 = 1$

Passaggio 5.2.5

Scomponi $4 x'$ da $4 x' x^{3} + 4 x' (- 9 x^{2})$ .

$4 x' (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 x' (24 x) + 4 x' \cdot - 16 = 1$

Passaggio 5.2.6

Scomponi $4 x'$ da $4 x' (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 x' (24 x)$ .

$4 x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 x' \cdot - 16 = 1$

Passaggio 5.2.7

Scomponi $4 x'$ da $4 x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 x' \cdot - 16$ .

$4 x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16) = 1$

Passaggio 5.3

Dividi per $4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)$ ciascun termine in $4 x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)$ ciascun termine in $4 x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16) = 1$ .

$\frac{4 x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)} = \frac{1}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)} = \frac{1}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16} = \frac{1}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16} = \frac{1}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{1}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}$