Algebra Esempi

$z = x^{y} + \ln (x y)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (z) = \frac{d}{d y} (x^{y} + \ln (x y))$

Passaggio 2

Poiché $z$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $z$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{y} + \ln (x y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x^{y}] + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{y}] + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d y} [x^{y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola di potenza generalizzata, secondo la quale $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ è $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , dove $f = x$ e $g = y$ .

$\frac{d}{d y} [x] (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d y} [y] (x^{y} \ln (x)) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$x' (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d y} [y] (x^{y} \ln (x)) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x' (y x^{y - 1}) + 1 (x^{y} \ln (x)) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $x^{y}$ per $1$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d y} [\ln (x y)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = \ln (y)$ e $g (y) = x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x y$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [x y]$

Passaggio 3.3.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{u} \frac{d}{d y} [x y]$

Passaggio 3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x y$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} \frac{d}{d y} [x y]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = x$ e $g (y) = y$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \cdot 1 + y x')$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x + y x')$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} x + \frac{1}{x y} (y x')$

Passaggio 3.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

$\frac{1}{x y}$ e $x$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{x}{x y} + \frac{1}{x y} (y x')$

Passaggio 3.4.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{x}{x y} + \frac{1}{x y} (y x')$

Passaggio 3.4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{1}{x y} (y x')$

Passaggio 3.4.2.3

$y$ e $\frac{1}{x y}$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{y}{x y} x'$

Passaggio 3.4.2.4

$\frac{y}{x y}$ e $x'$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{y x'}{x y}$

Passaggio 3.4.2.5

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{y x'}{x y}$

Passaggio 3.4.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{x'}{x}$

Passaggio 3.4.2.6

Per scrivere $x' (y x^{y - 1})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y}{y}$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (y x^{y - 1}) y}{y} + \frac{1}{y} + \frac{x'}{x}$

Passaggio 3.4.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (y x^{y - 1}) y + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Passaggio 3.4.2.8

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) (y^{1} y) + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Passaggio 3.4.2.9

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) (y^{1} y^{1}) + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Passaggio 3.4.2.10

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) y^{1 + 1} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Passaggio 3.4.2.11

Somma $1$ e $1$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Passaggio 3.4.2.12

Per scrivere $x^{y} \ln (x)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y}{y}$ .

$\frac{x^{y} \ln (x) y}{y} + \frac{x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Passaggio 3.4.2.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Passaggio 3.4.2.14

Per scrivere $\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x'}{x}$

Passaggio 3.4.2.15

Per scrivere $\frac{x'}{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y}{y}$ .

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x'}{x} \cdot \frac{y}{y}$

Passaggio 3.4.2.16

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $y x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.16.1

Moltiplica $\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y}$ per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x}{y x} + \frac{x'}{x} \cdot \frac{y}{y}$

Passaggio 3.4.2.16.2

Moltiplica $\frac{x'}{x}$ per $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x}{y x} + \frac{x' y}{x y}$

Passaggio 3.4.2.16.3

Riordina i fattori di $y x$ .

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x}{x y} + \frac{x' y}{x y}$

Passaggio 3.4.2.17

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x + x' y}{x y}$

Passaggio 3.4.3

Riordina i termini.

$\frac{x (x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) + y x'}{x y}$

Passaggio 3.4.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x^{y} \ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{y}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1.1

Sposta $x^{y}$ .

$\frac{x^{y} x (\ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Passaggio 3.4.4.2.1.2

Moltiplica $x^{y}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{y} x^{1} (\ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Passaggio 3.4.4.2.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Passaggio 3.4.4.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{y - 1}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.2.1

Sposta $x^{y - 1}$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y - 1} x (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Passaggio 3.4.4.2.2.2

Moltiplica $x^{y - 1}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y - 1} x^{1} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Passaggio 3.4.4.2.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y - 1 + 1} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Passaggio 3.4.4.2.2.3

Combina i termini opposti in $y - 1 + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.2.3.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y + 0} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Passaggio 3.4.4.2.2.3.2

Somma $y$ e $0$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Passaggio 3.4.4.2.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y} (x' y^{2}) + x + y x'}{x y}$

Passaggio 3.4.5

Riordina i fattori in $\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y} (x' y^{2}) + x + y x'}{x y}$ .

$\frac{y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x'}{x y}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$0 = \frac{y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x'}{x y}$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x' = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi l'equazione per $x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Riordina i fattori in $y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x'$ .

$y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x' x^{y} + x + y x' = 0$

Passaggio 5.2.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $y x^{y + 1} \ln (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} x' x^{y} + x + y x' = - y x^{y + 1} \ln (x)$

Passaggio 5.2.2.2

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} x' x^{y} + y x' = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $y x'$ da $y^{2} x' x^{y} + y x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Scomponi $y x'$ da $y^{2} x' x^{y}$ .

$y x' (y x^{y}) + y x' = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

Passaggio 5.2.3.2

Scomponi $y x'$ da $y x'$ .

$y x' (y x^{y}) + y x' \cdot 1 = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

Passaggio 5.2.3.3

Scomponi $y x'$ da $y x' (y x^{y}) + y x' \cdot 1$ .

$y x' (y x^{y} + 1) = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

Passaggio 5.2.4

Dividi per $y (y x^{y} + 1)$ ciascun termine in $y x' (y x^{y} + 1) = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Dividi per $y (y x^{y} + 1)$ ciascun termine in $y x' (y x^{y} + 1) = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$ .

$\frac{y x' (y x^{y} + 1)}{y (y x^{y} + 1)} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

Passaggio 5.2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y x' (y x^{y} + 1)}{y (y x^{y} + 1)} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

Passaggio 5.2.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x' (y x^{y} + 1)}{y x^{y} + 1} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

Passaggio 5.2.4.2.2

Elimina il fattore comune di $y x^{y} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' (y x^{y} + 1)}{y x^{y} + 1} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

Passaggio 5.2.4.2.2.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

Passaggio 5.2.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x' = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x) - x}{y (y x^{y} + 1)}$

Passaggio 5.2.4.3.2

Scomponi $- 1$ da $- y x^{y + 1} \ln (x)$ .

$x' = \frac{- (y x^{y + 1} \ln (x)) - x}{y (y x^{y} + 1)}$

Passaggio 5.2.4.3.3

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$x' = \frac{- (y x^{y + 1} \ln (x)) - (x)}{y (y x^{y} + 1)}$

Passaggio 5.2.4.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (y x^{y + 1} \ln (x)) - (x)$ .

$x' = \frac{- (y x^{y + 1} \ln (x) + x)}{y (y x^{y} + 1)}$

Passaggio 5.2.4.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.5.1

Riscrivi $- (y x^{y + 1} \ln (x) + x)$ come $- 1 (y x^{y + 1} \ln (x) + x)$ .

$x' = \frac{- 1 (y x^{y + 1} \ln (x) + x)}{y (y x^{y} + 1)}$

Passaggio 5.2.4.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x' = - \frac{y x^{y + 1} \ln (x) + x}{y (y x^{y} + 1)}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{y x^{y + 1} \ln (x) + x}{y (y x^{y} + 1)}$