Algebra Esempi

$y = \frac{4 \ln (x + 9)}{x^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{4 \ln (x + 9)}{x^{2}})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 \ln (x + 9)}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x + 9)}{x^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x + 9)}{x^{2}}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \ln (x + 9)$ e $g (x) = x^{2}$ .

$4 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 9)] - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 9)] - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 9)] - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 9$ .

$4 \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 9]) - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 3.4.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$4 \frac{x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 9]) - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 9$ .

$4 \frac{x^{2} (\frac{1}{x + 9} \frac{d}{d x} [x + 9]) - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 3.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

$\frac{1}{x + 9}$ e $x^{2}$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 9} \frac{d}{d x} [x + 9] - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 3.5.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 9} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 3.5.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 9} (1 + \frac{d}{d x} [9]) - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 3.5.4

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 9} (1 + 0) - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 3.5.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 9} \cdot 1 - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 3.5.5.2

Moltiplica $\frac{x^{2}}{x + 9}$ per $1$ .

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 9} - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 3.6

Moltiplica $\frac{\frac{x^{2}}{x + 9} - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$ per $\frac{x + 9}{x + 9}$ .

$4 (\frac{x + 9}{x + 9} \cdot \frac{\frac{x^{2}}{x + 9} - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}})$

Passaggio 3.7

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Combina.

$4 \frac{(x + 9) (\frac{x^{2}}{x + 9} - \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 9) x^{4}}$

Passaggio 3.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 \frac{(x + 9) \frac{x^{2}}{x + 9} + (x + 9) (- \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 9) x^{4}}$

Passaggio 3.7.3

Elimina il fattore comune di $x + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.3.1

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{(x + 9) \frac{x^{2}}{x + 9} + (x + 9) (- \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 9) x^{4}}$

Passaggio 3.7.3.2

Riscrivi l'espressione.

$4 \frac{x^{2} + (x + 9) (- \ln (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 9) x^{4}}$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 \frac{x^{2} + (x + 9) (- \ln (x + 9) (2 x))}{(x + 9) x^{4}}$

Passaggio 3.9

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 \frac{x^{2} + (x + 9) (- 2 \ln (x + 9) x)}{(x + 9) x^{4}}$

Passaggio 3.9.2

$4$ e $\frac{x^{2} + (x + 9) (- 2 \ln (x + 9) x)}{(x + 9) x^{4}}$ .

$\frac{4 (x^{2} + (x + 9) (- 2 \ln (x + 9) x))}{(x + 9) x^{4}}$

Passaggio 3.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x^{2} + 4 ((x + 9) (- 2 \ln (x + 9) x))}{(x + 9) x^{4}}$

Passaggio 3.10.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x^{2} + 4 ((x + 9) (- 2 \ln (x + 9) x))}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Passaggio 3.10.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.1.1

Semplifica $- 2 \ln (x + 9)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{4 x^{2} + 4 ((x + 9) (- \ln ({(x + 9)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x^{2} + 4 (x (- \ln ({(x + 9)}^{2}) x) + 9 (- \ln ({(x + 9)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x (\ln ({(x + 9)}^{2}) x) + 9 (- \ln ({(x + 9)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.4

Moltiplica $9 (- \ln ({(x + 9)}^{2}) x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x (\ln ({(x + 9)}^{2}) x) - 9 (\ln ({(x + 9)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.4.2

Riordina $\ln ({(x + 9)}^{2})$ e $- 9$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x (\ln ({(x + 9)}^{2}) x) - 9 \cdot \ln ({(x + 9)}^{2}) x)}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.4.3

Semplifica $- 9 \cdot \ln ({(x + 9)}^{2})$ spostando $9$ all'interno del logaritmo.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x (\ln ({(x + 9)}^{2}) x) - \ln ({({(x + 9)}^{2})}^{9}) x)}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.1.5.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.1.5.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- (x \cdot x) \ln ({(x + 9)}^{2}) - \ln ({({(x + 9)}^{2})}^{9}) x)}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.5.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x^{2} \ln ({(x + 9)}^{2}) - \ln ({({(x + 9)}^{2})}^{9}) x)}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.5.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 9)}^{2})}^{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.1.5.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x^{2} \ln ({(x + 9)}^{2}) - \ln ({(x + 9)}^{2 \cdot 9}) x)}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.5.2.2

Moltiplica $2$ per $9$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x^{2} \ln ({(x + 9)}^{2}) - \ln ({(x + 9)}^{18}) x)}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x^{2} \ln ({(x + 9)}^{2})) + 4 (- \ln ({(x + 9)}^{18}) x)}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.7

Moltiplica $4 (- x^{2} \ln ({(x + 9)}^{2}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{4 x^{2} - 4 (x^{2} \ln ({(x + 9)}^{2})) + 4 (- \ln ({(x + 9)}^{18}) x)}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.7.2

Semplifica $- 4 \ln ({(x + 9)}^{2})$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$\frac{4 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 9)}^{2})}^{4})) + 4 (- \ln ({(x + 9)}^{18}) x)}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.8

Moltiplica $4 (- \ln ({(x + 9)}^{18}) x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{4 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 9)}^{2})}^{4})) - 4 (\ln ({(x + 9)}^{18}) x)}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.8.2

Riordina $\ln ({(x + 9)}^{18})$ e $- 4$ .

$\frac{4 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 9)}^{2})}^{4})) - 4 \cdot \ln ({(x + 9)}^{18}) x}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.8.3

Semplifica $- 4 \cdot \ln ({(x + 9)}^{18})$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$\frac{4 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 9)}^{2})}^{4})) - \ln ({({(x + 9)}^{18})}^{4}) x}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.1.9.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({({(x + 9)}^{2})}^{4}) - \ln ({({(x + 9)}^{18})}^{4}) x}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.9.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 9)}^{2})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.1.9.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 9)}^{2 \cdot 4}) - \ln ({({(x + 9)}^{18})}^{4}) x}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.9.2.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 9)}^{8}) - \ln ({({(x + 9)}^{18})}^{4}) x}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.9.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 9)}^{18})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.1.9.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 9)}^{8}) - \ln ({(x + 9)}^{18 \cdot 4}) x}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Passaggio 3.10.3.1.9.3.2

Moltiplica $18$ per $4$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 9)}^{8}) - \ln ({(x + 9)}^{72}) x}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Passaggio 3.10.3.2

Riordina i fattori in $4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 9)}^{8}) - \ln ({(x + 9)}^{72}) x$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 9)}^{8}) - x \ln ({(x + 9)}^{72})}{x \cdot x^{4} + 9 x^{4}}$

Passaggio 3.10.4

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.4.1

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.4.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 9)}^{8}) - x \ln ({(x + 9)}^{72})}{x^{1} x^{4} + 9 x^{4}}$

Passaggio 3.10.4.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 9)}^{8}) - x \ln ({(x + 9)}^{72})}{x^{1 + 4} + 9 x^{4}}$

Passaggio 3.10.4.2

Somma $1$ e $4$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 9)}^{8}) - x \ln ({(x + 9)}^{72})}{x^{5} + 9 x^{4}}$

Passaggio 3.10.5

Scomponi $x$ da $4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 9)}^{8}) - x \ln ({(x + 9)}^{72})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.5.1

Scomponi $x$ da $4 x^{2}$ .

$\frac{x (4 x) - x^{2} \ln ({(x + 9)}^{8}) - x \ln ({(x + 9)}^{72})}{x^{5} + 9 x^{4}}$

Passaggio 3.10.5.2

Scomponi $x$ da $- x^{2} \ln ({(x + 9)}^{8})$ .

$\frac{x (4 x) + x (- x \ln ({(x + 9)}^{8})) - x \ln ({(x + 9)}^{72})}{x^{5} + 9 x^{4}}$

Passaggio 3.10.5.3

Scomponi $x$ da $- x \ln ({(x + 9)}^{72})$ .

$\frac{x (4 x) + x (- x \ln ({(x + 9)}^{8})) + x (- \ln ({(x + 9)}^{72}))}{x^{5} + 9 x^{4}}$

Passaggio 3.10.5.4

Scomponi $x$ da $x (4 x) + x (- x \ln ({(x + 9)}^{8}))$ .

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 9)}^{8})) + x (- \ln ({(x + 9)}^{72}))}{x^{5} + 9 x^{4}}$

Passaggio 3.10.5.5

Scomponi $x$ da $x (4 x - x \ln ({(x + 9)}^{8})) + x (- \ln ({(x + 9)}^{72}))$ .

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 9)}^{8}) - \ln ({(x + 9)}^{72}))}{x^{5} + 9 x^{4}}$

Passaggio 3.10.6

Scomponi $x^{4}$ da $x^{5} + 9 x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.6.1

Scomponi $x^{4}$ da $x^{5}$ .

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 9)}^{8}) - \ln ({(x + 9)}^{72}))}{x^{4} x + 9 x^{4}}$

Passaggio 3.10.6.2

Scomponi $x^{4}$ da $9 x^{4}$ .

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 9)}^{8}) - \ln ({(x + 9)}^{72}))}{x^{4} x + x^{4} \cdot 9}$

Passaggio 3.10.6.3

Scomponi $x^{4}$ da $x^{4} x + x^{4} \cdot 9$ .

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 9)}^{8}) - \ln ({(x + 9)}^{72}))}{x^{4} (x + 9)}$

Passaggio 3.10.7

Espandi $\ln ({(x + 9)}^{8})$ spostando $8$ fuori dal logaritmo.

$\frac{x (4 x - x (8 \ln (x + 9)) - \ln ({(x + 9)}^{72}))}{x^{4} (x + 9)}$

Passaggio 3.10.8

Espandi $\ln ({(x + 9)}^{72})$ spostando $72$ fuori dal logaritmo.

$\frac{x (4 x - x (8 \ln (x + 9)) - (72 \ln (x + 9)))}{x^{4} (x + 9)}$

Passaggio 3.10.9

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.9.1

Scomponi $x$ da $x^{4} (x + 9)$ .

$\frac{x (4 x - x (8 \ln (x + 9)) - (72 \ln (x + 9)))}{x (x^{3} (x + 9))}$

Passaggio 3.10.9.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (4 x - x (8 \ln (x + 9)) - (72 \ln (x + 9)))}{x (x^{3} (x + 9))}$

Passaggio 3.10.9.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 x - x (8 \ln (x + 9)) - (72 \ln (x + 9))}{x^{3} (x + 9)}$

Passaggio 3.10.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.10.1

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$\frac{4 x - 8 x \ln (x + 9) - 1 \cdot 72 \ln (x + 9)}{x^{3} (x + 9)}$

Passaggio 3.10.10.2

Moltiplica $- 1$ per $72$ .

$\frac{4 x - 8 x \ln (x + 9) - 72 \ln (x + 9)}{x^{3} (x + 9)}$

Passaggio 3.10.10.3

Scomponi $4$ da $4 x - 8 x \ln (x + 9) - 72 \ln (x + 9)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.10.3.1

Scomponi $4$ da $4 x$ .

$\frac{4 (x) - 8 x \ln (x + 9) - 72 \ln (x + 9)}{x^{3} (x + 9)}$

Passaggio 3.10.10.3.2

Scomponi $4$ da $- 8 x \ln (x + 9)$ .

$\frac{4 (x) + 4 (- 2 x \ln (x + 9)) - 72 \ln (x + 9)}{x^{3} (x + 9)}$

Passaggio 3.10.10.3.3

Scomponi $4$ da $- 72 \ln (x + 9)$ .

$\frac{4 (x) + 4 (- 2 x \ln (x + 9)) + 4 (- 18 \ln (x + 9))}{x^{3} (x + 9)}$

Passaggio 3.10.10.3.4

Scomponi $4$ da $4 (x) + 4 (- 2 x \ln (x + 9))$ .

$\frac{4 (x - 2 x \ln (x + 9)) + 4 (- 18 \ln (x + 9))}{x^{3} (x + 9)}$

Passaggio 3.10.10.3.5

Scomponi $4$ da $4 (x - 2 x \ln (x + 9)) + 4 (- 18 \ln (x + 9))$ .

$\frac{4 (x - 2 x \ln (x + 9) - 18 \ln (x + 9))}{x^{3} (x + 9)}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{4 (x - 2 x \ln (x + 9) - 18 \ln (x + 9))}{x^{3} (x + 9)}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 (x - 2 x \ln (x + 9) - 18 \ln (x + 9))}{x^{3} (x + 9)}$