Algebra Esempi

$x^{2} + 77 = {(2 + y^{2})}^{4}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 77) = \frac{d}{d x} ({(2 + y^{2})}^{4})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 77$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [77]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [77]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [77]$

Passaggio 2.3

Poiché $77$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $77$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 2.4

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Usa il teorema binomiale.

$\frac{d}{d x} [2^{4} + 4 \cdot 2^{3} y^{2} + 6 \cdot 2^{2} {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot 2 {(y^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{4}]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 4 \cdot 2^{3} y^{2} + 6 \cdot 2^{2} {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot 2 {(y^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{4}]$

Passaggio 3.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 4 \cdot 8 y^{2} + 6 \cdot 2^{2} {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot 2 {(y^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{4}]$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $4$ per $8$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 6 \cdot 2^{2} {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot 2 {(y^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{4}]$

Passaggio 3.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 6 \cdot 4 {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot 2 {(y^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{4}]$

Passaggio 3.2.1.5

Moltiplica $6$ per $4$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 24 {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot 2 {(y^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{4}]$

Passaggio 3.2.1.6

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.6.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 24 y^{2 \cdot 2} + 4 \cdot 2 {(y^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{4}]$

Passaggio 3.2.1.6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 24 y^{4} + 4 \cdot 2 {(y^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{4}]$

Passaggio 3.2.1.7

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 24 y^{4} + 8 {(y^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{4}]$

Passaggio 3.2.1.8

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.8.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 24 y^{4} + 8 y^{2 \cdot 3} + {(y^{2})}^{4}]$

Passaggio 3.2.1.8.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 24 y^{4} + 8 y^{6} + {(y^{2})}^{4}]$

Passaggio 3.2.1.9

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.9.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 24 y^{4} + 8 y^{6} + y^{2 \cdot 4}]$

Passaggio 3.2.1.9.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 24 y^{4} + 8 y^{6} + y^{8}]$

Passaggio 3.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $16 + 32 y^{2} + 24 y^{4} + 8 y^{6} + y^{8}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [32 y^{2}] + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$ .

$\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [32 y^{2}] + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Passaggio 3.2.3

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [32 y^{2}] + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Passaggio 3.2.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [32 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [32 y^{2}] + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Passaggio 3.2.5

Poiché $32$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $32 y^{2}$ rispetto a $x$ è $32 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $y$ .

$32 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$32 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y$ .

$32 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Passaggio 3.4

Moltiplica $2$ per $32$ .

$64 (y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Passaggio 3.5

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$64 y y' + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Passaggio 3.6

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24 y^{4}$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

$64 y y' + 24 \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 3.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$64 y y' + 24 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Passaggio 3.7.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$64 y y' + 24 (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Passaggio 3.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$64 y y' + 24 (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Passaggio 3.8

Moltiplica $4$ per $24$ .

$64 y y' + 96 (y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Passaggio 3.9

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Passaggio 3.10

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 y^{6}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [y^{6}]$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 8 \frac{d}{d x} [y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Passaggio 3.11

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{6}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 3.11.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $y$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 8 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{6}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Passaggio 3.11.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ è $n {u_{3}}^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 8 (6 {u_{3}}^{5} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Passaggio 3.11.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $y$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 8 (6 y^{5} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Passaggio 3.12

Moltiplica $6$ per $8$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 (y^{5} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Passaggio 3.13

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Passaggio 3.14

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{8}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 3.14.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{4}$ come $y$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + \frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{8}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.14.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ è $n {u_{4}}^{n - 1}$ dove $n = 8$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + 8 {u_{4}}^{7} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.14.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{4}$ con $y$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + 8 y^{7} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.15

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + 8 y^{7} y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 x = 64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + 8 y^{7} y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + 8 y^{7} y' = 2 x$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + 8 y^{7} y' = 2 x$

Passaggio 5.2

Scomponi $8 y y'$ da $64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + 8 y^{7} y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $8 y y'$ da $64 y y'$ .

$8 y y' \cdot 8 + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + 8 y^{7} y' = 2 x$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $8 y y'$ da $96 y^{3} y'$ .

$8 y y' \cdot 8 + 8 y y' (12 y^{2}) + 48 y^{5} y' + 8 y^{7} y' = 2 x$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $8 y y'$ da $48 y^{5} y'$ .

$8 y y' \cdot 8 + 8 y y' (12 y^{2}) + 8 y y' (6 y^{4}) + 8 y^{7} y' = 2 x$

Passaggio 5.2.4

Scomponi $8 y y'$ da $8 y^{7} y'$ .

$8 y y' \cdot 8 + 8 y y' (12 y^{2}) + 8 y y' (6 y^{4}) + 8 y y' y^{6} = 2 x$

Passaggio 5.2.5

Scomponi $8 y y'$ da $8 y y' \cdot 8 + 8 y y' (12 y^{2})$ .

$8 y y' (8 + 12 y^{2}) + 8 y y' (6 y^{4}) + 8 y y' y^{6} = 2 x$

Passaggio 5.2.6

Scomponi $8 y y'$ da $8 y y' (8 + 12 y^{2}) + 8 y y' (6 y^{4})$ .

$8 y y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4}) + 8 y y' y^{6} = 2 x$

Passaggio 5.2.7

Scomponi $8 y y'$ da $8 y y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4}) + 8 y y' y^{6}$ .

$8 y y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6}) = 2 x$

Passaggio 5.3

Dividi per $8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})$ ciascun termine in $8 y y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6}) = 2 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})$ ciascun termine in $8 y y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6}) = 2 x$ .

$\frac{8 y y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})} = \frac{2 x}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 y y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})} = \frac{2 x}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}{y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})} = \frac{2 x}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}{y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})} = \frac{2 x}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}{8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6}} = \frac{2 x}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$

Passaggio 5.3.2.3

Elimina il fattore comune di $8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}{8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6}} = \frac{2 x}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$

Passaggio 5.3.2.3.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{2 x}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$y' = \frac{2 (x)}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})$ .

$y' = \frac{2 (x)}{2 (4 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6}))}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 x}{2 (4 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6}))}$

Passaggio 5.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{x}{4 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{4 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$