Algebra Esempi

$s = \sqrt{4 x^{2} + 6 y^{2}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{4 x^{2} + 6 y^{2}}$ come ${(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$s = {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (s) = \frac{d}{d x} ({(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 3

Poiché $s$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $s$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 x^{2} + 6 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $4 x^{2} + 6 y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Passaggio 4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 x^{2} + 6 y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Passaggio 4.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Passaggio 4.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Passaggio 4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Passaggio 4.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Passaggio 4.5.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Passaggio 4.6

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Passaggio 4.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.1

$\frac{1}{2}$ e ${(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Passaggio 4.6.2.2

Sposta ${(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Passaggio 4.6.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} + 6 y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}])$

Passaggio 4.6.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}])$

Passaggio 4.6.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 y^{2}])$

Passaggio 4.6.6

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + \frac{d}{d x} [6 y^{2}])$

Passaggio 4.6.7

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 y^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 6 \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 4.7

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 6 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Passaggio 4.7.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 6 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]))$

Passaggio 4.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 6 (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Passaggio 4.8

Moltiplica $2$ per $6$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 12 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Passaggio 4.9

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 12 y y')$

Passaggio 4.10

Semplifica.

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Passaggio 4.10.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 12 y y')$ .

$(8 x + 12 y y') \frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.2

Moltiplica $8 x + 12 y y'$ per $\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{8 x + 12 y y'}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.3

Scomponi $2$ da $8 x$ .

$\frac{2 (4 x) + 12 y y'}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.4

Scomponi $2$ da $12 y y'$ .

$\frac{2 (4 x) + 2 (6 y y')}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.5

Scomponi $2$ da $2 (4 x) + 2 (6 y y')$ .

$\frac{2 (4 x + 6 y y')}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.6.1

Scomponi $2$ da $2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (4 x + 6 y y')}{2 ({(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 4.10.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (4 x + 6 y y')}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 x + 6 y y'}{{(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.7

Scomponi $2$ da $4 x + 6 y y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.7.1

Scomponi $2$ da $4 x$ .

$\frac{2 (2 x) + 6 y y'}{{(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.7.2

Scomponi $2$ da $6 y y'$ .

$\frac{2 (2 x) + 2 (3 y y')}{{(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.7.3

Scomponi $2$ da $2 (2 x) + 2 (3 y y')$ .

$\frac{2 (2 x + 3 y y')}{{(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$0 = \frac{2 (2 x + 3 y y')}{{(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 6.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 (2 x + 3 y y') = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi l'equazione per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (2 x + 3 y y') = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (2 x + 3 y y') = 0$ .

$\frac{2 (2 x + 3 y y')}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 x + 3 y y')}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 6.2.1.2.1.2

Dividi $2 x + 3 y y'$ per $1$ .

$2 x + 3 y y' = \frac{0}{2}$

Passaggio 6.2.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$2 x + 3 y y' = 0$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y y' = - 2 x$

Passaggio 6.2.3

Dividi per $3 y$ ciascun termine in $3 y y' = - 2 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Dividi per $3 y$ ciascun termine in $3 y y' = - 2 x$ .

$\frac{3 y y'}{3 y} = \frac{- 2 x}{3 y}$

Passaggio 6.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y y'}{3 y} = \frac{- 2 x}{3 y}$

Passaggio 6.2.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{3 y}$

Passaggio 6.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{3 y}$

Passaggio 6.2.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{3 y}$

Passaggio 6.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 x}{3 y}$

Passaggio 7

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{3 y}$