Algebra Esempi

$\frac{4 x^{3} + 8 x^{2} - 6 x + 2}{2 x^{2} - x - 1}$

Passaggio 1

Dividi usando la divisione di polinomi lunga.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$6 x$

$2$

Passaggio 1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x^{2}$ .

$2 x$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$6 x$

$2$

Passaggio 1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$2 x$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$6 x$

$2$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

Passaggio 1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x$

$2 x$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$6 x$

$2$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

Passaggio 1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$2 x$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$6 x$

$2$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$10 x^{2}$

$4 x$

Passaggio 1.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$2 x$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$6 x$

$2$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$10 x^{2}$

$4 x$

$2$

Passaggio 1.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $10 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x^{2}$ .

$2 x$

$5$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$6 x$

$2$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$10 x^{2}$

$4 x$

$2$

Passaggio 1.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$2 x$

$5$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$6 x$

$2$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$10 x^{2}$

$4 x$

$2$

$10 x^{2}$

$5 x$

$5$

Passaggio 1.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $10 x^{2} - 5 x - 5$

$2 x$

$5$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$6 x$

$2$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$10 x^{2}$

$4 x$

$2$

$10 x^{2}$

$5 x$

$5$

Passaggio 1.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$2 x$

$5$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$6 x$

$2$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$10 x^{2}$

$4 x$

$2$

$10 x^{2}$

$5 x$

$5$

$x$

$7$

Passaggio 1.11

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$2 x + 5 + \frac{x + 7}{2 x^{2} - x - 1}$

Passaggio 2

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e la cui somma è $b = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{x + 7}{2 x^{2} - (x) - 1}$

Passaggio 2.1.1.2

Riscrivi $- 1$ come $1$ più $- 2$ .

$\frac{x + 7}{2 x^{2} + (1 - 2) x - 1}$

Passaggio 2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x + 7}{2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1}$

Passaggio 2.1.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x + 7}{2 x^{2} + x - 2 x - 1}$

Passaggio 2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{x + 7}{(2 x^{2} + x) - 2 x - 1}$

Passaggio 2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{x + 7}{x (2 x + 1) - (2 x + 1)}$

Passaggio 2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x + 1$ .

$\frac{x + 7}{(2 x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 2.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{2 x + 1}$

Passaggio 2.3

$\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Passaggio 2.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(2 x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{(x + 7) (2 x + 1) (x - 1)}{(2 x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 2.5

Elimina il fattore comune di $2 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 7) (2 x + 1) (x - 1)}{(2 x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x + 7) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 2.6

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 7) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 2.6.2

Dividi $x + 7$ per $1$ .

$x + 7 = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 2.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Elimina il fattore comune di $2 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$x + 7 = \frac{A (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 2.7.1.2

Dividi $(A) (x - 1)$ per $1$ .

$x + 7 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 2.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$x + 7 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 2.7.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $A$ .

$x + 7 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 2.7.4

Riscrivi $- 1 A$ come $- A$ .

$x + 7 = A x - A + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 2.7.5

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.5.1

Elimina il fattore comune.

$x + 7 = A x - A + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 2.7.5.2

Dividi $(B) (2 x + 1)$ per $1$ .

$x + 7 = A x - A + (B) (2 x + 1)$

Passaggio 2.7.6

Applica la proprietà distributiva.

$x + 7 = A x - A + B (2 x) + B \cdot 1$

Passaggio 2.7.7

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x + 7 = A x - A + 2 B x + B \cdot 1$

Passaggio 2.7.8

Moltiplica $B$ per $1$ .

$x + 7 = A x - A + 2 B x + B$

Passaggio 2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Sposta $B$ .

$x + 7 = A x - A + 2 x B + B$

Passaggio 2.8.2

Sposta $- A$ .

$x + 7 = A x + 2 x B - A + B$

Passaggio 3

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A + 2 B$

Passaggio 3.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$7 = - 1 A + B$

Passaggio 3.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$1 = A + 2 B$

$7 = - 1 A + B$

$1 = A + 2 B$

$7 = - 1 A + B$

Passaggio 4

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Risolvi per $A$ in $1 = A + 2 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + 2 B = 1$ .

$A + 2 B = 1$

$7 = - 1 A + B$

Passaggio 4.1.2

Sottrai $2 B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 1 - 2 B$

$7 = - 1 A + B$

$A = 1 - 2 B$

$7 = - 1 A + B$

Passaggio 4.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1 - 2 B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $7 = - 1 A + B$ con $1 - 2 B$ .

$7 = - 1 (1 - 2 B) + B$

$A = 1 - 2 B$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica $- 1 (1 - 2 B) + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$7 = - 1 \cdot 1 - 1 (- 2 B) + B$

$A = 1 - 2 B$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$7 = - 1 - 1 (- 2 B) + B$

$A = 1 - 2 B$

Passaggio 4.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$7 = - 1 + 2 B + B$

$A = 1 - 2 B$

$7 = - 1 + 2 B + B$

$A = 1 - 2 B$

Passaggio 4.2.2.1.2

Somma $2 B$ e $B$ .

$7 = - 1 + 3 B$

$A = 1 - 2 B$

$7 = - 1 + 3 B$

$A = 1 - 2 B$

$7 = - 1 + 3 B$

$A = 1 - 2 B$

$7 = - 1 + 3 B$

$A = 1 - 2 B$

Passaggio 4.3

Risolvi per $B$ in $7 = - 1 + 3 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 1 + 3 B = 7$ .

$- 1 + 3 B = 7$

$A = 1 - 2 B$

Passaggio 4.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 B = 7 + 1$

$A = 1 - 2 B$

Passaggio 4.3.2.2

Somma $7$ e $1$ .

$3 B = 8$

$A = 1 - 2 B$

$3 B = 8$

$A = 1 - 2 B$

Passaggio 4.3.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 B = 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 B = 8$ .

$\frac{3 B}{3} = \frac{8}{3}$

$A = 1 - 2 B$

Passaggio 4.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 B}{3} = \frac{8}{3}$

$A = 1 - 2 B$

Passaggio 4.3.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{8}{3}$

$A = 1 - 2 B$

$B = \frac{8}{3}$

$A = 1 - 2 B$

$B = \frac{8}{3}$

$A = 1 - 2 B$

$B = \frac{8}{3}$

$A = 1 - 2 B$

$B = \frac{8}{3}$

$A = 1 - 2 B$

Passaggio 4.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $\frac{8}{3}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = 1 - 2 B$ con $\frac{8}{3}$ .

$A = 1 - 2 (\frac{8}{3})$

$B = \frac{8}{3}$

Passaggio 4.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Semplifica $1 - 2 (\frac{8}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.1.1

Moltiplica $- 2 (\frac{8}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.1.1.1

$- 2$ e $\frac{8}{3}$ .

$A = 1 + \frac{- 2 \cdot 8}{3}$

$B = \frac{8}{3}$

Passaggio 4.4.2.1.1.1.2

Moltiplica $- 2$ per $8$ .

$A = 1 + \frac{- 16}{3}$

$B = \frac{8}{3}$

$A = 1 + \frac{- 16}{3}$

$B = \frac{8}{3}$

Passaggio 4.4.2.1.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A = 1 - \frac{16}{3}$

$B = \frac{8}{3}$

$A = 1 - \frac{16}{3}$

$B = \frac{8}{3}$

Passaggio 4.4.2.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$A = \frac{3}{3} - \frac{16}{3}$

$B = \frac{8}{3}$

Passaggio 4.4.2.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A = \frac{3 - 16}{3}$

$B = \frac{8}{3}$

Passaggio 4.4.2.1.2.3

Sottrai $16$ da $3$ .

$A = \frac{- 13}{3}$

$B = \frac{8}{3}$

Passaggio 4.4.2.1.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A = - \frac{13}{3}$

$B = \frac{8}{3}$

$A = - \frac{13}{3}$

$B = \frac{8}{3}$

$A = - \frac{13}{3}$

$B = \frac{8}{3}$

$A = - \frac{13}{3}$

$B = \frac{8}{3}$

$A = - \frac{13}{3}$

$B = \frac{8}{3}$

Passaggio 4.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = - \frac{13}{3}, B = \frac{8}{3}$

Passaggio 5

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $2 x + 5 + \frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$2 x + 5 + \frac{- \frac{13}{3}}{2 x + 1} + \frac{\frac{8}{3}}{x - 1}$