Algebra Esempi

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$0$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

${(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 6 \cdot 0$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = 0$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 2 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 6 \cdot 0$

Passaggio 4.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 2 \cdot 0 - 3 {(0)}^{2} - 6 \cdot 0$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$0 + 0 - 3 {(0)}^{2} - 6 \cdot 0$

Passaggio 4.1.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 0 - 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0$

Passaggio 4.1.5

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$0 + 0 + 0 - 6 \cdot 0$

Passaggio 4.1.6

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

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Passaggio 4.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 0 + 0$

Passaggio 4.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 4.2.3

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $0$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 0$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x}{x + 0}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$0$	$1$	$2$	$- 3$	$- 6$	$0$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$0$	$1$	$2$	$- 3$	$- 6$	$0$

	$1$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(0)$ e posiziona il risultato di $(0)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(2)$ .

$0$	$1$	$2$	$- 3$	$- 6$	$0$
		$0$
	$1$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$0$	$1$	$2$	$- 3$	$- 6$	$0$
		$0$
	$1$	$2$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(2)$ per il divisore $(0)$ e posiziona il risultato di $(0)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 3)$ .

$0$	$1$	$2$	$- 3$	$- 6$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$2$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$0$	$1$	$2$	$- 3$	$- 6$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$2$	$- 3$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 3)$ per il divisore $(0)$ e posiziona il risultato di $(0)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 6)$ .

$0$	$1$	$2$	$- 3$	$- 6$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$2$	$- 3$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$0$	$1$	$2$	$- 3$	$- 6$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$2$	$- 3$	$- 6$

Passaggio 6.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 6)$ per il divisore $(0)$ e posiziona il risultato di $(0)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(0)$ .

$0$	$1$	$2$	$- 3$	$- 6$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$2$	$- 3$	$- 6$

Passaggio 6.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$0$	$1$	$2$	$- 3$	$- 6$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$2$	$- 3$	$- 6$	$0$

Passaggio 6.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{3} + 2 x^{2} + (- 3) x - 6$

Passaggio 6.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{3} + 2 x^{2} - 3 x - 6$

Passaggio 7

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 7.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x + 0) (x^{3} + 2 x^{2}) - 3 x - 6$

Passaggio 7.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x + 0) + x^{2} (x + 2) - 3 (x + 2)$

$(x + 0) x^{2} (x + 2) - 3 (x + 2)$

Passaggio 8

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x + 2$ .

$(x + 0) (x + 2) (x^{2} - 3)$

Passaggio 9

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 9.1

Scomponi $x$ da $x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x$ .

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Passaggio 9.1.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$x \cdot x^{3} + 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x = 0$

Passaggio 9.1.2

Scomponi $x$ da $2 x^{3}$ .

$x \cdot x^{3} + x (2 x^{2}) - 3 x^{2} - 6 x = 0$

Passaggio 9.1.3

Scomponi $x$ da $- 3 x^{2}$ .

$x \cdot x^{3} + x (2 x^{2}) + x (- 3 x) - 6 x = 0$

Passaggio 9.1.4

Scomponi $x$ da $- 6 x$ .

$x \cdot x^{3} + x (2 x^{2}) + x (- 3 x) + x \cdot - 6 = 0$

Passaggio 9.1.5

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{3} + x (2 x^{2})$ .

$x (x^{3} + 2 x^{2}) + x (- 3 x) + x \cdot - 6 = 0$

Passaggio 9.1.6

Scomponi $x$ da $x (x^{3} + 2 x^{2}) + x (- 3 x)$ .

$x (x^{3} + 2 x^{2} - 3 x) + x \cdot - 6 = 0$

Passaggio 9.1.7

Scomponi $x$ da $x (x^{3} + 2 x^{2} - 3 x) + x \cdot - 6$ .

$x (x^{3} + 2 x^{2} - 3 x - 6) = 0$

Passaggio 9.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 9.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$x ((x^{3} + 2 x^{2}) - 3 x - 6) = 0$

Passaggio 9.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (x^{2} (x + 2) - 3 (x + 2)) = 0$

Passaggio 9.3

Scomponi.

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Passaggio 9.3.1

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x + 2$ .

$x ((x + 2) (x^{2} - 3)) = 0$

Passaggio 9.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x (x + 2) (x^{2} - 3) = 0$

Passaggio 10

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Passaggio 11

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 12

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 12.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 12.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 13

Imposta $x^{2} - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 13.1

Imposta $x^{2} - 3$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Passaggio 13.2

Risolvi $x^{2} - 3 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 13.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 3$

Passaggio 13.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Passaggio 13.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 13.2.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{3}$

Passaggio 13.2.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{3}$

Passaggio 13.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 14

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x + 2) (x^{2} - 3) = 0$ vera.

$x = 0, - 2, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 15

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = 0, - 2, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Forma decimale:

$x = 0, - 2, 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots$

Passaggio 16