Algebra Esempi

$y = - \frac{1}{5} {(x + 5)}^{2} + 2$

Passaggio 1

La funzione genitore è la forma più semplice del tipo di funzione data.

$y = x^{2}$

Passaggio 2

Semplifica $- \frac{1}{5} \cdot {(x + 5)}^{2} + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Riscrivi ${(x + 5)}^{2}$ come $(x + 5) (x + 5)$ .

$y = - \frac{1}{5} \cdot ((x + 5) (x + 5)) + 2$

Passaggio 2.1.2

Espandi $(x + 5) (x + 5)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{1}{5} \cdot (x (x + 5) + 5 (x + 5)) + 2$

Passaggio 2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{1}{5} \cdot (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) + 2$

Passaggio 2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{1}{5} \cdot (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) + 2$

Passaggio 2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = - \frac{1}{5} \cdot (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) + 2$

Passaggio 2.1.3.1.2

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$y = - \frac{1}{5} \cdot (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) + 2$

Passaggio 2.1.3.1.3

Moltiplica $5$ per $5$ .

$y = - \frac{1}{5} \cdot (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) + 2$

Passaggio 2.1.3.2

Somma $5 x$ e $5 x$ .

$y = - \frac{1}{5} \cdot (x^{2} + 10 x + 25) + 2$

Passaggio 2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{1}{5} x^{2} - \frac{1}{5} (10 x) - \frac{1}{5} \cdot 25 + 2$

Passaggio 2.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{5}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{5} - \frac{1}{5} (10 x) - \frac{1}{5} \cdot 25 + 2$

Passaggio 2.1.5.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{5}$ nel numeratore.

$y = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{- 1}{5} (10 x) - \frac{1}{5} \cdot 25 + 2$

Passaggio 2.1.5.2.2

Scomponi $5$ da $10 x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{- 1}{5} (5 (2 x)) - \frac{1}{5} \cdot 25 + 2$

Passaggio 2.1.5.2.3

Elimina il fattore comune.

$y = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{- 1}{5} (5 (2 x)) - \frac{1}{5} \cdot 25 + 2$

Passaggio 2.1.5.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y = - \frac{x^{2}}{5} - 1 (2 x) - \frac{1}{5} \cdot 25 + 2$

Passaggio 2.1.5.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{5} - 2 x - \frac{1}{5} \cdot 25 + 2$

Passaggio 2.1.5.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{5}$ nel numeratore.

$y = - \frac{x^{2}}{5} - 2 x + \frac{- 1}{5} \cdot 25 + 2$

Passaggio 2.1.5.4.2

Scomponi $5$ da $25$ .

$y = - \frac{x^{2}}{5} - 2 x + \frac{- 1}{5} \cdot (5 (5)) + 2$

Passaggio 2.1.5.4.3

Elimina il fattore comune.

$y = - \frac{x^{2}}{5} - 2 x + \frac{- 1}{5} \cdot (5 \cdot 5) + 2$

Passaggio 2.1.5.4.4

Riscrivi l'espressione.

$y = - \frac{x^{2}}{5} - 2 x - 1 \cdot 5 + 2$

Passaggio 2.1.5.5

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$y = - \frac{x^{2}}{5} - 2 x - 5 + 2$

Passaggio 2.2

Somma $- 5$ e $2$ .

$y = - \frac{x^{2}}{5} - 2 x - 3$

Passaggio 3

Supponi che $y = x^{2}$ sia $f (x) = x^{2}$ e $y = - \frac{1}{5} \cdot {(x + 5)}^{2} + 2$ sia $g (x) = - \frac{x^{2}}{5} - 2 x - 3$ .

$f (x) = x^{2}$

$g (x) = - \frac{x^{2}}{5} - 2 x - 3$

Passaggio 4

La trasformazione descritta è da $f (x) = x^{2}$ a $g (x) = - \frac{x^{2}}{5} - 2 x - 3$ .

$f (x) = x^{2} \to g (x) = - \frac{x^{2}}{5} - 2 x - 3$

Passaggio 5

Trova la forma del vertice di $g (x) = - \frac{x^{2}}{5} - 2 x - 3$ .

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Passaggio 5.1

Completa il quadrato per $- \frac{x^{2}}{5} - 2 x - 3$ .

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Passaggio 5.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - \frac{1}{5}$

$b = - 2$

$c = - 3$

Passaggio 5.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 5.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Passaggio 5.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 (- \frac{1}{5})}$

Passaggio 5.1.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

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Passaggio 5.1.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (- \frac{1}{5})}$

Passaggio 5.1.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.1.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (- \frac{1}{5})}$

Passaggio 5.1.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 1}{- \frac{1}{5}}$

Passaggio 5.1.3.2.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$d = \frac{1}{\frac{1}{5}}$

Passaggio 5.1.3.2.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$d = 1 \cdot 5$

Passaggio 5.1.3.2.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$d = 5$

Passaggio 5.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Passaggio 5.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 3 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Passaggio 5.1.4.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1.4.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$e = - 3 - \frac{4}{4 (- \frac{1}{5})}$

Passaggio 5.1.4.2.1.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.1.4.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = - 3 - \frac{4}{- 4 (\frac{1}{5})}$

Passaggio 5.1.4.2.1.2.2

$- 4$ e $\frac{1}{5}$ .

$e = - 3 - \frac{4}{\frac{- 4}{5}}$

Passaggio 5.1.4.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e = - 3 - \frac{4}{- \frac{4}{5}}$

Passaggio 5.1.4.2.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e = - 3 - (4 (- \frac{5}{4}))$

Passaggio 5.1.4.2.1.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 5.1.4.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{5}{4}$ nel numeratore.

$e = - 3 - (4 (\frac{- 5}{4}))$

Passaggio 5.1.4.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$e = - 3 - (4 (\frac{- 5}{4}))$

Passaggio 5.1.4.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$e = - 3 - - 5$

Passaggio 5.1.4.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$e = - 3 + 5$

Passaggio 5.1.4.2.2

Somma $- 3$ e $5$ .

$e = 2$

Passaggio 5.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- \frac{1}{5} {(x + 5)}^{2} + 2$ .

$- \frac{1}{5} {(x + 5)}^{2} + 2$

Passaggio 5.2

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = - \frac{1}{5} \cdot {(x + 5)}^{2} + 2$

Passaggio 6

La traslazione orizzontale dipende dal valore di $h$ . La traslazione orizzontale è descritta come:

$g (x) = f (x + h)$ - Il grafico è traslato a sinistra di $h$ unità.

$g (x) = f (x - h)$ - Il grafico è traslato a destra di $h$ unità.

Traslazione orizzontale: $5$ unità a sinistra

Passaggio 7

La traslazione verticale dipende dal valore di $k$ . La traslazione verticale è descritta come:

$g (x) = f (x) + k$ - Il grafico è traslato verso l'alto di $k$ unità.

$g (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

Traslazione verticale: verso l'alto di $2$ unità

Passaggio 8

Il grafico è riflesso sull'asse x quando $g (x) = - f (x)$ .

Riflessione sull'asse x: riflessa

Passaggio 9

Il grafico è riflesso sull'asse y quando $g (x) = f (- x)$ .

Riflessione sull'asse y: nessuna

Passaggio 10

Compressione e allungamento dipendono dal valore di $a$ .

Quando $a$ è maggiore di $1$ : in dilatazione verticale

Quando $a$ rientra nell'intervallo $0$ - $1$ : in compressione verticale

Compressione o dilatazione verticale: in compressione

Passaggio 11

Confronta ed elenca le trasformazioni.

Funzione base: $y = x^{2}$

Traslazione orizzontale: $5$ unità a sinistra

Traslazione verticale: verso l'alto di $2$ unità

Riflessione sull'asse x: riflessa

Riflessione sull'asse y: nessuna

Compressione o dilatazione verticale: in compressione

Passaggio 12