Algebra Esempi

$x^{2} - 4 y^{2} - 2 x - 15 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Somma $15$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 4 y^{2} - 2 x = 15$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $x^{2} - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 1}{1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$d = - 1$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e = 0 - 1$

Passaggio 1.2.4.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$e = - 1$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di ${(x - 1)}^{2} - 1$ .

${(x - 1)}^{2} - 1$

Passaggio 1.3

Sostituisci $x^{2} - 2 x$ con ${(x - 1)}^{2} - 1$ nell'equazione $x^{2} - 4 y^{2} - 2 x = 15$ .

${(x - 1)}^{2} - 1 - 4 y^{2} = 15$

Passaggio 1.4

Sposta $- 1$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $1$ a entrambi i lati.

${(x - 1)}^{2} - 4 y^{2} = 15 + 1$

Passaggio 1.5

Somma $15$ e $1$ .

${(x - 1)}^{2} - 4 y^{2} = 16$

Passaggio 1.6

Dividi per $16$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} - \frac{4 y^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

Passaggio 1.7

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 4$

$b = 2$

$k = 0$

$h = 1$

Passaggio 4

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ perché questa iperbole è rivolta verso destra e sinistra.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot (x - (1)) + 0$

Passaggio 5

Semplifica per trovare il primo asintoto.

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Passaggio 5.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{1}{2} \cdot (x - (1)) + 0$

Passaggio 5.2

Semplifica $\frac{1}{2} \cdot (x - (1)) + 0$ .

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Passaggio 5.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Somma $\frac{1}{2} \cdot (x - (1))$ e $0$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x - (1))$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Passaggio 5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Passaggio 5.2.3

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Passaggio 5.2.4

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x - (1)) + 0$

Passaggio 6.2

Semplifica $- \frac{1}{2} \cdot (x - (1)) + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Somma $- \frac{1}{2} \cdot (x - (1))$ e $0$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x - (1))$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Passaggio 6.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Passaggio 6.2.3

$x$ e $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Passaggio 6.2.4

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Passaggio 6.2.4.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 7

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}, y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 8

Gli asintoti sono $y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$ e $y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$ .

Asintoti: $y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}, y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 9