Algebra Esempi

$4 x^{2} + 6 y^{2} = 24$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'ellissi.

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Passaggio 1.1

Dividi per $24$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{4 x^{2}}{24} + \frac{6 y^{2}}{24} = \frac{24}{24}$

Passaggio 1.2

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = \sqrt{6}$

$b = 2$

$k = 0$

$h = 0$

Passaggio 4

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

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Passaggio 4.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(\sqrt{6})}^{2} - {(2)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Semplifica.

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Passaggio 4.3.1

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{2}$ come $6$ .

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Passaggio 4.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6}$ come $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{6^{\frac{2}{2}} - {(2)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{6^{\frac{2}{2}} - {(2)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{6^{1} - {(2)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{6 - {(2)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{6 - 1 \cdot 4}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\sqrt{6 - 4}$

Passaggio 4.3.2.3

Sottrai $4$ da $6$ .

$\sqrt{2}$

Passaggio 5

Trova i fuochi.

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Passaggio 5.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0 + \sqrt{2}, 0)$

Passaggio 5.3

Semplifica.

$(\sqrt{2}, 0)$

Passaggio 5.4

Si può trovare il secondo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 5.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0 - (\sqrt{2}), 0)$

Passaggio 5.6

Semplifica.

$(- \sqrt{2}, 0)$

Passaggio 5.7

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{2}, 0)$

Passaggio 6