Algebra Esempi

${(x + \frac{1}{x})}^{4}$

Passaggio 1

Il triangolo di Tartaglia può essere visualizzato come segue:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

È possibile utilizzare il triangolo per calcolare i coefficienti dell'espansione di ${(a + b)}^{n}$ prendendo l'esponente $n$ e sommando $1$ . I coefficienti corrisponderanno alla linea $n + 1$ del triangolo. Per ${(x + \frac{1}{x})}^{4}$ , $n = 4$ in modo che i coefficienti dell'espansione corrispondano alla linea $5$ .

Passaggio 2

L'espansione segue la regola ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . I valori dei coefficienti dal triangolo sono $1 - 4 - 6 - 4 - 1$ .

$1 a^{4} b^{0} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + 1 a^{0} b^{4}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori effettivi di $a$ $x$ e $b$ $\frac{1}{x}$ nell'espressione.

$1 {(x)}^{4} {(\frac{1}{x})}^{0} + 4 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica ${(x)}^{4}$ per $1$ .

${(x)}^{4} {(\frac{1}{x})}^{0} + 4 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Passaggio 4.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{x}$ .

$x^{4} \frac{1^{0}}{x^{0}} + 4 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Passaggio 4.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$x^{4} \frac{1}{x^{0}} + 4 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Passaggio 4.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$x^{4} \frac{1}{1} + 4 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Passaggio 4.5

Dividi $1$ per $1$ .

$x^{4} \cdot 1 + 4 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Passaggio 4.6

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$x^{4} + 4 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Passaggio 4.7

Semplifica.

$x^{4} + 4 x^{3} \frac{1}{x} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Passaggio 4.8

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Scomponi $x$ da $4 x^{3}$ .

$x^{4} + x (4 x^{2}) \frac{1}{x} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Passaggio 4.8.2

Elimina il fattore comune.

$x^{4} + x (4 x^{2}) \frac{1}{x} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Passaggio 4.8.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{4} + 4 x^{2} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Passaggio 4.9

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{x}$ .

$x^{4} + 4 x^{2} + 6 x^{2} \frac{1^{2}}{x^{2}} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Passaggio 4.10

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x^{4} + 4 x^{2} + 6 x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Passaggio 4.11

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.1

Scomponi $x^{2}$ da $6 x^{2}$ .

$x^{4} + 4 x^{2} + x^{2} \cdot 6 \frac{1}{x^{2}} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Passaggio 4.11.2

Elimina il fattore comune.

$x^{4} + 4 x^{2} + x^{2} \cdot 6 \frac{1}{x^{2}} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Passaggio 4.11.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{4} + 4 x^{2} + 6 + 4 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Passaggio 4.12

Semplifica.

$x^{4} + 4 x^{2} + 6 + 4 x {(\frac{1}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Passaggio 4.13

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{x}$ .

$x^{4} + 4 x^{2} + 6 + 4 x \frac{1^{3}}{x^{3}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Passaggio 4.14

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x^{4} + 4 x^{2} + 6 + 4 x \frac{1}{x^{3}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Passaggio 4.15

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.15.1

Scomponi $x$ da $4 x$ .

$x^{4} + 4 x^{2} + 6 + x \cdot 4 \frac{1}{x^{3}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Passaggio 4.15.2

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$x^{4} + 4 x^{2} + 6 + x \cdot 4 \frac{1}{x \cdot x^{2}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Passaggio 4.15.3

Elimina il fattore comune.

$x^{4} + 4 x^{2} + 6 + x \cdot 4 \frac{1}{x \cdot x^{2}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Passaggio 4.15.4

Riscrivi l'espressione.

$x^{4} + 4 x^{2} + 6 + 4 \frac{1}{x^{2}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Passaggio 4.16

$4$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$x^{4} + 4 x^{2} + 6 + \frac{4}{x^{2}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Passaggio 4.17

Moltiplica ${(x)}^{0}$ per $1$ .

$x^{4} + 4 x^{2} + 6 + \frac{4}{x^{2}} + {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Passaggio 4.18

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$x^{4} + 4 x^{2} + 6 + \frac{4}{x^{2}} + 1 {(\frac{1}{x})}^{4}$

Passaggio 4.19

Moltiplica ${(\frac{1}{x})}^{4}$ per $1$ .

$x^{4} + 4 x^{2} + 6 + \frac{4}{x^{2}} + {(\frac{1}{x})}^{4}$

Passaggio 4.20

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{x}$ .

$x^{4} + 4 x^{2} + 6 + \frac{4}{x^{2}} + \frac{1^{4}}{x^{4}}$

Passaggio 4.21

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x^{4} + 4 x^{2} + 6 + \frac{4}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}$