Algebra Esempi

$y = 64 {(x - 2)}^{3} - 1$

Passaggio 1

Semplifica $64 {(x - 2)}^{3} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Usa il teorema binomiale.

$y = 64 (x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}) - 1$

Passaggio 1.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$y = 64 (x^{3} - 6 x^{2} + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}) - 1$

Passaggio 1.1.2.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$y = 64 (x^{3} - 6 x^{2} + 3 x \cdot 4 + {(- 2)}^{3}) - 1$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$y = 64 (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + {(- 2)}^{3}) - 1$

Passaggio 1.1.2.4

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$y = 64 (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8) - 1$

Passaggio 1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = 64 x^{3} + 64 (- 6 x^{2}) + 64 (12 x) + 64 \cdot - 8 - 1$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Moltiplica $- 6$ per $64$ .

$y = 64 x^{3} - 384 x^{2} + 64 (12 x) + 64 \cdot - 8 - 1$

Passaggio 1.1.4.2

Moltiplica $12$ per $64$ .

$y = 64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x + 64 \cdot - 8 - 1$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $64$ per $- 8$ .

$y = 64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x - 512 - 1$

Passaggio 1.2

Sottrai $1$ da $- 512$ .

$y = 64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x - 513$

Passaggio 2

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 19, \pm 27, \pm 57, \pm 171, \pm 513$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32, \pm 64$

Passaggio 3

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{8}, \pm \frac{1}{16}, \pm \frac{1}{32}, \pm \frac{1}{64}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm \frac{3}{8}, \pm \frac{3}{16}, \pm \frac{3}{32}, \pm \frac{3}{64}, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm \frac{9}{4}, \pm \frac{9}{8}, \pm \frac{9}{16}, \pm \frac{9}{32}, \pm \frac{9}{64}, \pm 19, \pm \frac{19}{2}, \pm \frac{19}{4}, \pm \frac{19}{8}, \pm \frac{19}{16}, \pm \frac{19}{32}, \pm \frac{19}{64}, \pm 27, \pm \frac{27}{2}, \pm \frac{27}{4}, \pm \frac{27}{8}, \pm \frac{27}{16}, \pm \frac{27}{32}, \pm \frac{27}{64}, \pm 57, \pm \frac{57}{2}, \pm \frac{57}{4}, \pm \frac{57}{8}, \pm \frac{57}{16}, \pm \frac{57}{32}, \pm \frac{57}{64}, \pm 171, \pm \frac{171}{2}, \pm \frac{171}{4}, \pm \frac{171}{8}, \pm \frac{171}{16}, \pm \frac{171}{32}, \pm \frac{171}{64}, \pm 513, \pm \frac{513}{2}, \pm \frac{513}{4}, \pm \frac{513}{8}, \pm \frac{513}{16}, \pm \frac{513}{32}, \pm \frac{513}{64}$

Passaggio 4

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

$64 {(\frac{9}{4})}^{3} - 384 {(\frac{9}{4})}^{2} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = \frac{9}{4}$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{9}{4}$ .

$64 \frac{9^{3}}{4^{3}} - 384 {(\frac{9}{4})}^{2} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Passaggio 5.1.2

Eleva $9$ alla potenza di $3$ .

$64 \frac{729}{4^{3}} - 384 {(\frac{9}{4})}^{2} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Passaggio 5.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$64 (\frac{729}{64}) - 384 {(\frac{9}{4})}^{2} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Passaggio 5.1.4

Elimina il fattore comune di $64$ .

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Passaggio 5.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$64 (\frac{729}{64}) - 384 {(\frac{9}{4})}^{2} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Passaggio 5.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$729 - 384 {(\frac{9}{4})}^{2} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Passaggio 5.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{9}{4}$ .

$729 - 384 \frac{9^{2}}{4^{2}} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Passaggio 5.1.6

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$729 - 384 \frac{81}{4^{2}} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Passaggio 5.1.7

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$729 - 384 (\frac{81}{16}) + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Passaggio 5.1.8

Elimina il fattore comune di $16$ .

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Passaggio 5.1.8.1

Scomponi $16$ da $- 384$ .

$729 + 16 (- 24) \frac{81}{16} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Passaggio 5.1.8.2

Elimina il fattore comune.

$729 + 16 \cdot - 24 \frac{81}{16} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Passaggio 5.1.8.3

Riscrivi l'espressione.

$729 - 24 \cdot 81 + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Passaggio 5.1.9

Moltiplica $- 24$ per $81$ .

$729 - 1944 + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Passaggio 5.1.10

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 5.1.10.1

Scomponi $4$ da $768$ .

$729 - 1944 + 4 (192) \frac{9}{4} - 513$

Passaggio 5.1.10.2

Elimina il fattore comune.

$729 - 1944 + 4 \cdot 192 \frac{9}{4} - 513$

Passaggio 5.1.10.3

Riscrivi l'espressione.

$729 - 1944 + 192 \cdot 9 - 513$

Passaggio 5.1.11

Moltiplica $192$ per $9$ .

$729 - 1944 + 1728 - 513$

Passaggio 5.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 5.2.1

Sottrai $1944$ da $729$ .

$- 1215 + 1728 - 513$

Passaggio 5.2.2

Somma $- 1215$ e $1728$ .

$513 - 513$

Passaggio 5.2.3

Sottrai $513$ da $513$ .

$0$

Passaggio 6

Poiché $\frac{9}{4}$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - \frac{9}{4}$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x - 513}{x - \frac{9}{4}}$

Passaggio 7

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 7.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$

Passaggio 7.2

Il primo numero nel dividendo $(64)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$

	$64$

Passaggio 7.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(64)$ per il divisore $(\frac{9}{4})$ e posiziona il risultato di $(144)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 384)$ .

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$
		$144$
	$64$

Passaggio 7.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$
		$144$
	$64$	$- 240$

Passaggio 7.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 240)$ per il divisore $(\frac{9}{4})$ e posiziona il risultato di $(- 540)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(768)$ .

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$
		$144$	$- 540$
	$64$	$- 240$

Passaggio 7.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$
		$144$	$- 540$
	$64$	$- 240$	$228$

Passaggio 7.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(228)$ per il divisore $(\frac{9}{4})$ e posiziona il risultato di $(513)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 513)$ .

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$
		$144$	$- 540$	$513$
	$64$	$- 240$	$228$

Passaggio 7.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$
		$144$	$- 540$	$513$
	$64$	$- 240$	$228$	$0$

Passaggio 7.9

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$64 x^{2} + - 240 x + 228$

Passaggio 7.10

Semplifica il polinomio quoziente.

$64 x^{2} - 240 x + 228$

Passaggio 8

Scomponi $4$ da $64 x^{2} - 240 x + 228$ .

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Passaggio 8.1

Scomponi $4$ da $64 x^{2}$ .

$(x - \frac{9}{4}) (4 (16 x^{2}) - 240 x + 228)$

Passaggio 8.2

Scomponi $4$ da $- 240 x$ .

$(x - \frac{9}{4}) (4 (16 x^{2}) + 4 (- 60 x) + 228)$

Passaggio 8.3

Scomponi $4$ da $228$ .

$(x - \frac{9}{4}) (4 (16 x^{2}) + 4 (- 60 x) + 4 (57))$

Passaggio 8.4

Scomponi $4$ da $4 (16 x^{2}) + 4 (- 60 x)$ .

$(x - \frac{9}{4}) (4 (16 x^{2} - 60 x) + 4 (57))$

Passaggio 8.5

Scomponi $4$ da $4 (16 x^{2} - 60 x) + 4 (57)$ .

$(x - \frac{9}{4}) (4 (16 x^{2} - 60 x + 57))$

Passaggio 9

Semplifica $64 {(x - 2)}^{3} - 1$ .

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Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Usa il teorema binomiale.

$64 (x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}) - 1 = 0$

Passaggio 9.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$64 (x^{3} - 6 x^{2} + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}) - 1 = 0$

Passaggio 9.1.2.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$64 (x^{3} - 6 x^{2} + 3 x \cdot 4 + {(- 2)}^{3}) - 1 = 0$

Passaggio 9.1.2.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$64 (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + {(- 2)}^{3}) - 1 = 0$

Passaggio 9.1.2.4

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$64 (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8) - 1 = 0$

Passaggio 9.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$64 x^{3} + 64 (- 6 x^{2}) + 64 (12 x) + 64 \cdot - 8 - 1 = 0$

Passaggio 9.1.4

Semplifica.

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Passaggio 9.1.4.1

Moltiplica $- 6$ per $64$ .

$64 x^{3} - 384 x^{2} + 64 (12 x) + 64 \cdot - 8 - 1 = 0$

Passaggio 9.1.4.2

Moltiplica $12$ per $64$ .

$64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x + 64 \cdot - 8 - 1 = 0$

Passaggio 9.1.4.3

Moltiplica $64$ per $- 8$ .

$64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x - 512 - 1 = 0$

Passaggio 9.2

Sottrai $1$ da $- 512$ .

$64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x - 513 = 0$

Passaggio 10

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x = \frac{9}{4}$

Passaggio 11