Algebra Esempi

$x^{3} = - i$

Passaggio 1

Sostituisci $x^{3}$ per $u$ .

$u^{3} = - i$

Passaggio 2

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 3

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi di $a = 0$ e $b = - 1$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2}}$

Passaggio 5

Trova $| z |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Passaggio 5.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$| z | = 1$

Passaggio 6

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{- 1}{0})$

Passaggio 7

Poiché l'argomento è indefinito e $b$ è negativo, l'angolo del punto sul piano complesso è $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 8

Sostituisci i valori di $θ = \frac{3 π}{2}$ e $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 9

Sostituisci il lato destro dell'equazione con la forma trigonometrica.

$u^{3} = \cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 10

Utilizza la formula di de Moivre per determinare un'equazione per $u$ .

$r^{3} (c o s (3 θ) + i s i n (3 θ)) = - i = \cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 11

Fai equivalere il modulo della forma trigonometrica a $r^{3}$ per trovare il valore di $r$ .

$r^{3} = 1$

Passaggio 12

Risolvi l'equazione per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$r^{3} - 1 = 0$

Passaggio 12.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$r^{3} - 1^{3} = 0$

Passaggio 12.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = r$ e $b = 1$ .

$(r - 1) (r^{2} + r \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 12.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.1

Moltiplica $r$ per $1$ .

$(r - 1) (r^{2} + r + 1^{2}) = 0$

Passaggio 12.2.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(r - 1) (r^{2} + r + 1) = 0$

Passaggio 12.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$r - 1 = 0$

$r^{2} + r + 1 = 0$

Passaggio 12.4

Imposta $r - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.1

Imposta $r - 1$ uguale a $0$ .

$r - 1 = 0$

Passaggio 12.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$r = 1$

Passaggio 12.5

Imposta $r^{2} + r + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1

Imposta $r^{2} + r + 1$ uguale a $0$ .

$r^{2} + r + 1 = 0$

Passaggio 12.5.2

Risolvi $r^{2} + r + 1 = 0$ per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 12.5.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 1$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $r$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.5.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.2.3.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.5.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.5.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.5.2.3.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.5.2.3.1.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.5.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.5.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.5.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 12.5.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.2.4.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.5.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.5.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.5.2.4.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.5.2.4.1.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.5.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.5.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.5.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 12.5.2.4.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$r = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 12.5.2.4.4

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 12.5.2.4.5

Scomponi $- 1$ da $i \sqrt{3}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 12.5.2.4.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$r = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 12.5.2.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$r = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 12.5.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.2.5.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.5.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.5.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.5.2.5.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.5.2.5.1.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.5.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.5.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.5.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 12.5.2.5.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$r = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 12.5.2.5.4

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 12.5.2.5.5

Scomponi $- 1$ da $- i \sqrt{3}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 12.5.2.5.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$r = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 12.5.2.5.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$r = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 12.5.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$r = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 12.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(r - 1) (r^{2} + r + 1) = 0$ vera.

$r = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 13

Trova il valore approssimativo di $r$ .

$r = 1$

Passaggio 14

Trova i possibili valori di $θ$ .

$c o s (3 θ) = c o s (2 π n)$ e $s i n (3 θ) = s i n (2 π n)$

Passaggio 15

Trovando tutti i possibili valori di $θ$ si ottiene l'equazione $3 θ = 2 π n$ .

$3 θ = 2 π n$

Passaggio 16

Trova il valore di $θ$ per $r = 0$ .

$3 θ = 2 π (0)$

Passaggio 17

Risolvi l'equazione per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Moltiplica $2 π \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Moltiplica $0$ per $2$ .

$3 θ = 0 π$

Passaggio 17.1.2

Moltiplica $0$ per $π$ .

$3 θ = 0$

Passaggio 17.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 θ = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 θ = 0$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 17.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 17.2.2.1.2

Dividi $θ$ per $1$ .

$θ = \frac{0}{3}$

Passaggio 17.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

$θ = 0$

Passaggio 18

Utilizza i valori di $θ$ e $r$ per trovare una soluzione all'equazione $u^{3} = - i$ .

$u_{0} = 1 (\cos (0) + i \sin (0))$

Passaggio 19

Converti la soluzione sotto forma rettangolare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Moltiplica $\cos (0) + i \sin (0)$ per $1$ .

$u_{0} = \cos (0) + i \sin (0)$

Passaggio 19.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$u_{0} = 1 + i \sin (0)$

Passaggio 19.2.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$u_{0} = 1 + i \cdot 0$

Passaggio 19.2.3

Moltiplica $i$ per $0$ .

$u_{0} = 1 + 0$

Passaggio 19.3

Somma $1$ e $0$ .

$u_{0} = 1$

Passaggio 20

Sostituisci $u$ per $x^{3}$ per calcolare il valore di $z$ dopo lo shift a destra.

$z_{0} = 0 + 1$

Passaggio 21

Trova il valore di $θ$ per $r = 1$ .

$3 θ = 2 π (1)$

Passaggio 22

Risolvi l'equazione per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$3 θ = 2 π$

Passaggio 22.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 θ = 2 π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 θ = 2 π$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 22.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 22.2.2.1.2

Dividi $θ$ per $1$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 23

Utilizza i valori di $θ$ e $r$ per trovare una soluzione all'equazione $u^{3} = - i$ .

$u_{1} = 1 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Passaggio 24

Converti la soluzione sotto forma rettangolare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.1

Moltiplica $\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$ per $1$ .

$u_{1} = \cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 24.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$u_{1} = - \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 24.2.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 24.2.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$u_{1} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 24.2.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = - \frac{1}{2} + i (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 24.2.5

$i$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 25

Sostituisci $u$ per $x^{3}$ per calcolare il valore di $z$ dopo lo shift a destra.

$z_{1} = 0 - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 26

Trova il valore di $θ$ per $r = 2$ .

$3 θ = 2 π (2)$

Passaggio 27

Risolvi l'equazione per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$3 θ = 4 π$

Passaggio 27.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 θ = 4 π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 θ = 4 π$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{4 π}{3}$

Passaggio 27.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{4 π}{3}$

Passaggio 27.2.2.1.2

Dividi $θ$ per $1$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Passaggio 28

Utilizza i valori di $θ$ e $r$ per trovare una soluzione all'equazione $u^{3} = - i$ .

$u_{2} = 1 (\cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3}))$

Passaggio 29

Converti la soluzione sotto forma rettangolare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 29.1

Moltiplica $\cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$ per $1$ .

$u_{2} = \cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Passaggio 29.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 29.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$u_{2} = - \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Passaggio 29.2.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Passaggio 29.2.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel terzo quadrante.

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i (- \sin (\frac{π}{3}))$

Passaggio 29.2.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 29.2.5

$i$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 30

Sostituisci $u$ per $x^{3}$ per calcolare il valore di $z$ dopo lo shift a destra.

$z_{2} = 0 - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 31

Queste sono le soluzioni complesse di $u^{3} = - i$ .

$z_{0} = 1$

$z_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$