Algebra Esempi

$f (x) = - x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} + 4 x - 4$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} + 4 x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 4 x^{3} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.5

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.6

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 4 + 0$

Passaggio 1.6.2

Somma $- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 4$ e $0$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 4$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 12 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 12 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 12 x + 6 + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 12 x + 6 + 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $- 12 x^{2} - 12 x + 6$ e $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 12 x + 6$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 4 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 4 x^{3} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 4.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 4.1.4.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 4.1.5

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 4.1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 4.1.5.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 4.1.6

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 4 + 0$

Passaggio 4.1.6.2

Somma $- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 4$ e $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 4$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 4$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 4$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 4 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 4 = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $2$ da $- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 4 x^{3}$ .

$2 (- 2 x^{3}) - 6 x^{2} + 6 x + 4 = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Scomponi $2$ da $- 6 x^{2}$ .

$2 (- 2 x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 6 x + 4 = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Scomponi $2$ da $6 x$ .

$2 (- 2 x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (3 x) + 4 = 0$

Passaggio 5.2.1.4

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 (- 2 x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (3 x) + 2 (2) = 0$

Passaggio 5.2.1.5

Scomponi $2$ da $2 (- 2 x^{3}) + 2 (- 3 x^{2})$ .

$2 (- 2 x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (3 x) + 2 (2) = 0$

Passaggio 5.2.1.6

Scomponi $2$ da $2 (- 2 x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (3 x)$ .

$2 (- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x) + 2 (2) = 0$

Passaggio 5.2.1.7

Scomponi $2$ da $2 (- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x) + 2 (2)$ .

$2 (- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 2) = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 2$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 5.2.2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 2$

Passaggio 5.2.2.3

Sostituisci $- 0.5$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 0.5$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.3.1

Sostituisci $- 0.5$ nel polinomio.

$- 2 {(- 0.5)}^{3} - 3 {(- 0.5)}^{2} + 3 \cdot - 0.5 + 2$

Passaggio 5.2.2.3.2

Eleva $- 0.5$ alla potenza di $3$ .

$- 2 \cdot - 0.125 - 3 {(- 0.5)}^{2} + 3 \cdot - 0.5 + 2$

Passaggio 5.2.2.3.3

Moltiplica $- 2$ per $- 0.125$ .

$0.25 - 3 {(- 0.5)}^{2} + 3 \cdot - 0.5 + 2$

Passaggio 5.2.2.3.4

Eleva $- 0.5$ alla potenza di $2$ .

$0.25 - 3 \cdot 0.25 + 3 \cdot - 0.5 + 2$

Passaggio 5.2.2.3.5

Moltiplica $- 3$ per $0.25$ .

$0.25 - 0.75 + 3 \cdot - 0.5 + 2$

Passaggio 5.2.2.3.6

Sottrai $0.75$ da $0.25$ .

$- 0.5 + 3 \cdot - 0.5 + 2$

Passaggio 5.2.2.3.7

Moltiplica $3$ per $- 0.5$ .

$- 0.5 - 1.5 + 2$

Passaggio 5.2.2.3.8

Sottrai $1.5$ da $- 0.5$ .

$- 2 + 2$

Passaggio 5.2.2.3.9

Somma $- 2$ e $2$ .

$0$

Passaggio 5.2.2.4

Poiché $- 0.5$ è una radice nota, dividi il polinomio per $2 x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 2}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.2.5

Dividi $- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 2$ per $2 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2$

Passaggio 5.2.2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				-	$x^{2}$
	$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$

Passaggio 5.2.2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 5.2.2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x^{3} - x^{2}$

			-	$x^{2}$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 5.2.2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Passaggio 5.2.2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$x^{2}$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Passaggio 5.2.2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Passaggio 5.2.2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$

Passaggio 5.2.2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x^{2} - x$

			-	$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$

Passaggio 5.2.2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$

Passaggio 5.2.2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	+	$2$

Passaggio 5.2.2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	+	$2$

Passaggio 5.2.2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	+	$2$
							+	$4 x$	+	$2$

Passaggio 5.2.2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x + 2$

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	+	$2$
							-	$4 x$	-	$2$

Passaggio 5.2.2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	+	$2$
							-	$4 x$	-	$2$
										$0$

Passaggio 5.2.2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$- x^{2} - x + 2$

Passaggio 5.2.2.6

Scrivi $- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 2$ come insieme di fattori.

$2 ((2 x + 1) (- x^{2} - x + 2)) = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 2 = - 2$ e la cui somma è $b = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1.1.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$2 ((2 x + 1) (- x^{2} - (x) + 2)) = 0$

Passaggio 5.2.3.1.1.1.2

Riscrivi $- 1$ come $1$ più $- 2$ .

$2 ((2 x + 1) (- x^{2} + (1 - 2) x + 2)) = 0$

Passaggio 5.2.3.1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 ((2 x + 1) (- x^{2} + 1 x - 2 x + 2)) = 0$

Passaggio 5.2.3.1.1.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$2 ((2 x + 1) (- x^{2} + x - 2 x + 2)) = 0$

Passaggio 5.2.3.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$2 ((2 x + 1) ((- x^{2} + x) - 2 x + 2)) = 0$

Passaggio 5.2.3.1.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$2 ((2 x + 1) (x (- x + 1) + 2 (- x + 1))) = 0$

Passaggio 5.2.3.1.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x + 1$ .

$2 ((2 x + 1) ((- x + 1) (x + 2))) = 0$

Passaggio 5.2.3.1.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 ((2 x + 1) (- x + 1) (x + 2)) = 0$

Passaggio 5.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 (2 x + 1) (- x + 1) (x + 2) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$- x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $2 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $2 x + 1$ uguale a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $2 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 1$

Passaggio 5.4.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.5

Imposta $- x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $- x + 1$ uguale a $0$ .

$- x + 1 = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $- x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 1$

Passaggio 5.5.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 5.5.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 5.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x = 1$

Passaggio 5.6

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 5.6.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 5.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 (2 x + 1) (- x + 1) (x + 2) = 0$ vera.

$x = - \frac{1}{2}, 1, - 2$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - \frac{1}{2}, 1, - 2$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{1}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2}) + 6$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$- 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 12 (- \frac{1}{2}) + 6$

Passaggio 9.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$- 12 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 12 (- \frac{1}{2}) + 6$

Passaggio 9.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 12 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 12 (- \frac{1}{2}) + 6$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$- 12 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 12 (- \frac{1}{2}) + 6$

Passaggio 9.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 12 \frac{1}{2^{2}} - 12 (- \frac{1}{2}) + 6$

Passaggio 9.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 12 (\frac{1}{4}) - 12 (- \frac{1}{2}) + 6$

Passaggio 9.1.6

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.6.1

Scomponi $4$ da $- 12$ .

$4 (- 3) \frac{1}{4} - 12 (- \frac{1}{2}) + 6$

Passaggio 9.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$4 \cdot - 3 \frac{1}{4} - 12 (- \frac{1}{2}) + 6$

Passaggio 9.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$- 3 - 12 (- \frac{1}{2}) + 6$

Passaggio 9.1.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.7.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$- 3 - 12 (\frac{- 1}{2}) + 6$

Passaggio 9.1.7.2

Scomponi $2$ da $- 12$ .

$- 3 + 2 (- 6) \frac{- 1}{2} + 6$

Passaggio 9.1.7.3

Elimina il fattore comune.

$- 3 + 2 \cdot - 6 \frac{- 1}{2} + 6$

Passaggio 9.1.7.4

Riscrivi l'espressione.

$- 3 - 6 \cdot - 1 + 6$

Passaggio 9.1.8

Moltiplica $- 6$ per $- 1$ .

$- 3 + 6 + 6$

Passaggio 9.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Somma $- 3$ e $6$ .

$3 + 6$

Passaggio 9.2.2

Somma $3$ e $6$ .

$9$

Passaggio 10

$x = - \frac{1}{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{1}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f (- \frac{1}{2}) = - {(- \frac{1}{2})}^{4} - 2 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 4$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - ({(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) - 2 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 4$

Passaggio 11.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - ({(- 1)}^{4} (\frac{1^{4}}{2^{4}})) - 2 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 4$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.2.1

Sposta ${(- 1)}^{4}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = {(- 1)}^{4} \cdot (- 1 \frac{1^{4}}{2^{4}}) - 2 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 4$

Passaggio 11.2.1.2.2

Moltiplica ${(- 1)}^{4}$ per $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = {(- 1)}^{4} \cdot ((- 1) (\frac{1^{4}}{2^{4}})) - 2 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 4$

Passaggio 11.2.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- \frac{1}{2}) = {(- 1)}^{4 + 1} (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 2 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 4$

Passaggio 11.2.1.2.3

Somma $4$ e $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = {(- 1)}^{5} (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 2 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 4$

Passaggio 11.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1^{4}}{2^{4}} - 2 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 4$

Passaggio 11.2.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2^{4}} - 2 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 4$

Passaggio 11.2.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{16} - 2 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 4$

Passaggio 11.2.1.6

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.6.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{16} - 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 4$

Passaggio 11.2.1.6.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{16} - 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 4$

Passaggio 11.2.1.7

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{16} - 2 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 4$

Passaggio 11.2.1.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{16} - 2 (- \frac{1}{2^{3}}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 4$

Passaggio 11.2.1.9

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{16} - 2 (- \frac{1}{8}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 4$

Passaggio 11.2.1.10

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.10.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{8}$ nel numeratore.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{16} - 2 (\frac{- 1}{8}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 4$

Passaggio 11.2.1.10.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{16} + 2 (- 1) (\frac{- 1}{8}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 4$

Passaggio 11.2.1.10.3

Scomponi $2$ da $8$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{16} + 2 \cdot (- 1 \frac{- 1}{2 \cdot 4}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 4$

Passaggio 11.2.1.10.4

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{16} + 2 \cdot (- 1 \frac{- 1}{2 \cdot 4}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 4$

Passaggio 11.2.1.10.5

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{16} - 1 (\frac{- 1}{4}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 4$

Passaggio 11.2.1.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{16} - 1 (- \frac{1}{4}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 4$

Passaggio 11.2.1.12

Moltiplica $- 1 (- \frac{1}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.12.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{16} + 1 (\frac{1}{4}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 4$

Passaggio 11.2.1.12.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 4$

Passaggio 11.2.1.13

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.13.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 4 (- \frac{1}{2}) - 4$

Passaggio 11.2.1.13.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 4 (- \frac{1}{2}) - 4$

Passaggio 11.2.1.14

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + 3 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 4 (- \frac{1}{2}) - 4$

Passaggio 11.2.1.15

Moltiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + 3 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 4 (- \frac{1}{2}) - 4$

Passaggio 11.2.1.16

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + 3 (\frac{1}{2^{2}}) + 4 (- \frac{1}{2}) - 4$

Passaggio 11.2.1.17

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + 3 (\frac{1}{4}) + 4 (- \frac{1}{2}) - 4$

Passaggio 11.2.1.18

$3$ e $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 4 (- \frac{1}{2}) - 4$

Passaggio 11.2.1.19

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.19.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 4 (\frac{- 1}{2}) - 4$

Passaggio 11.2.1.19.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 2 (2) (\frac{- 1}{2}) - 4$

Passaggio 11.2.1.19.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 2 \cdot (2 (\frac{- 1}{2})) - 4$

Passaggio 11.2.1.19.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 2 \cdot - 1 - 4$

Passaggio 11.2.1.20

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} - 2 - 4$

Passaggio 11.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{1}{2}) = - 2 - 4 + \frac{- 1}{16} + \frac{1 + 3}{4}$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $1$ e $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - 2 - 4 + \frac{- 1}{16} + \frac{4}{4}$

Passaggio 11.2.3

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Scrivi $- 2$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{1} - 4 + \frac{- 1}{16} + \frac{4}{4}$

Passaggio 11.2.3.2

Moltiplica $\frac{- 2}{1}$ per $\frac{16}{16}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{1} \cdot \frac{16}{16} - 4 + \frac{- 1}{16} + \frac{4}{4}$

Passaggio 11.2.3.3

Moltiplica $\frac{- 2}{1}$ per $\frac{16}{16}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2 \cdot 16}{16} - 4 + \frac{- 1}{16} + \frac{4}{4}$

Passaggio 11.2.3.4

Scrivi $- 4$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2 \cdot 16}{16} + \frac{- 4}{1} + \frac{- 1}{16} + \frac{4}{4}$

Passaggio 11.2.3.5

Moltiplica $\frac{- 4}{1}$ per $\frac{16}{16}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2 \cdot 16}{16} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{16}{16} + \frac{- 1}{16} + \frac{4}{4}$

Passaggio 11.2.3.6

Moltiplica $\frac{- 4}{1}$ per $\frac{16}{16}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2 \cdot 16}{16} + \frac{- 4 \cdot 16}{16} + \frac{- 1}{16} + \frac{4}{4}$

Passaggio 11.2.3.7

Moltiplica $\frac{4}{4}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2 \cdot 16}{16} + \frac{- 4 \cdot 16}{16} + \frac{- 1}{16} + \frac{4}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 11.2.3.8

Moltiplica $\frac{4}{4}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2 \cdot 16}{16} + \frac{- 4 \cdot 16}{16} + \frac{- 1}{16} + \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Passaggio 11.2.3.9

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2 \cdot 16}{16} + \frac{- 4 \cdot 16}{16} + \frac{- 1}{16} + \frac{4 \cdot 4}{16}$

Passaggio 11.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2 \cdot 16 - 4 \cdot 16 - 1 + 4 \cdot 4}{16}$

Passaggio 11.2.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Moltiplica $- 2$ per $16$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 32 - 4 \cdot 16 - 1 + 4 \cdot 4}{16}$

Passaggio 11.2.5.2

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 32 - 64 - 1 + 4 \cdot 4}{16}$

Passaggio 11.2.5.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 32 - 64 - 1 + 16}{16}$

Passaggio 11.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.6.1

Sottrai $64$ da $- 32$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 96 - 1 + 16}{16}$

Passaggio 11.2.6.2

Sottrai $1$ da $- 96$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 97 + 16}{16}$

Passaggio 11.2.6.3

Somma $- 97$ e $16$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 81}{16}$

Passaggio 11.2.6.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{81}{16}$

Passaggio 11.2.7

La risposta finale è $- \frac{81}{16}$ .

$y = - \frac{81}{16}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 12 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 6$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 12 \cdot 1 - 12 \cdot 1 + 6$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$- 12 - 12 \cdot 1 + 6$

Passaggio 13.1.3

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$- 12 - 12 + 6$

Passaggio 13.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Sottrai $12$ da $- 12$ .

$- 24 + 6$

Passaggio 13.2.2

Somma $- 24$ e $6$ .

$- 18$

Passaggio 14

$x = 1$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = - {(1)}^{4} - 2 {(1)}^{3} + 3 {(1)}^{2} + 4 (1) - 4$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = - 1 \cdot 1 - 2 {(1)}^{3} + 3 {(1)}^{2} + 4 (1) - 4$

Passaggio 15.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = - 1 - 2 {(1)}^{3} + 3 {(1)}^{2} + 4 (1) - 4$

Passaggio 15.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = - 1 - 2 \cdot 1 + 3 {(1)}^{2} + 4 (1) - 4$

Passaggio 15.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f (1) = - 1 - 2 + 3 {(1)}^{2} + 4 (1) - 4$

Passaggio 15.2.1.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = - 1 - 2 + 3 \cdot 1 + 4 (1) - 4$

Passaggio 15.2.1.6

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (1) = - 1 - 2 + 3 + 4 (1) - 4$

Passaggio 15.2.1.7

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f (1) = - 1 - 2 + 3 + 4 - 4$

Passaggio 15.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$f (1) = - 3 + 3 + 4 - 4$

Passaggio 15.2.2.2

Somma $- 3$ e $3$ .

$f (1) = 0 + 4 - 4$

Passaggio 15.2.2.3

Somma $0$ e $4$ .

$f (1) = 4 - 4$

Passaggio 15.2.2.4

Sottrai $4$ da $4$ .

$f (1) = 0$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = - 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 12 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 + 6$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$- 12 \cdot 4 - 12 \cdot - 2 + 6$

Passaggio 17.1.2

Moltiplica $- 12$ per $4$ .

$- 48 - 12 \cdot - 2 + 6$

Passaggio 17.1.3

Moltiplica $- 12$ per $- 2$ .

$- 48 + 24 + 6$

Passaggio 17.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Somma $- 48$ e $24$ .

$- 24 + 6$

Passaggio 17.2.2

Somma $- 24$ e $6$ .

$- 18$

Passaggio 18

$x = - 2$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 2$ è un massimo locale

Passaggio 19

Trova il valore di y quando $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = - {(- 2)}^{4} - 2 {(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) - 4$

Passaggio 19.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$f (- 2) = - 1 \cdot 16 - 2 {(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) - 4$

Passaggio 19.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$f (- 2) = - 16 - 2 {(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) - 4$

Passaggio 19.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per ${(- 2)}^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.3.1

Moltiplica $- 2$ per ${(- 2)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.3.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $1$ .

$f (- 2) = - 16 + (- 2) {(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) - 4$

Passaggio 19.2.1.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- 2) = - 16 + {(- 2)}^{1 + 3} + 3 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) - 4$

Passaggio 19.2.1.3.2

Somma $1$ e $3$ .

$f (- 2) = - 16 + {(- 2)}^{4} + 3 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) - 4$

Passaggio 19.2.1.4

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$f (- 2) = - 16 + 16 + 3 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) - 4$

Passaggio 19.2.1.5

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2) = - 16 + 16 + 3 \cdot 4 + 4 (- 2) - 4$

Passaggio 19.2.1.6

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f (- 2) = - 16 + 16 + 12 + 4 (- 2) - 4$

Passaggio 19.2.1.7

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$f (- 2) = - 16 + 16 + 12 - 8 - 4$

Passaggio 19.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.1

Somma $- 16$ e $16$ .

$f (- 2) = 0 + 12 - 8 - 4$

Passaggio 19.2.2.2

Somma $0$ e $12$ .

$f (- 2) = 12 - 8 - 4$

Passaggio 19.2.2.3

Sottrai $8$ da $12$ .

$f (- 2) = 4 - 4$

Passaggio 19.2.2.4

Sottrai $4$ da $4$ .

$f (- 2) = 0$

Passaggio 19.2.3

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 20

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = - x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} + 4 x - 4$ .

$(- \frac{1}{2}, - \frac{81}{16})$ è un minimo locale

$(1, 0)$ è un massimo locale

$(- 2, 0)$ è un massimo locale

Passaggio 21