Algebra Esempi

$f (x) = 5 x^{6} + 4 x^{5} + 3 x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - x - 1$

Passaggio 1

Per trovare il possibile numero di radici positive, guarda i segni dei coefficienti e conta il numero di volte in cui i coefficienti cambiano da positivo a negativo o viceversa.

$f (x) = 5 x^{6} + 4 x^{5} + 3 x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - x - 1$

Passaggio 2

Poiché ci sono $3$ cambiamenti di segno dal termine di ordine più alto a quello di ordine più basso, ci sono al massimo $3$ radici positive (Regola di Cartesio). È possibile trovare gli altri numeri possibili di radici positive sottraendo le coppie di radici (ad es. $(3 - 2)$ ).

Radici positive: $3$ o $1$

Passaggio 3

Per trovare il possibile numero di radici negative, sostituisci $x$ con $- x$ e ripeti il confronto dei segni.

$f (- x) = 5 {(- x)}^{6} + 4 {(- x)}^{5} + 3 {(- x)}^{4} - 2 {(- x)}^{3} + 2 {(- x)}^{2} - (- x) - 1$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = 5 ({(- 1)}^{6} x^{6}) + 4 {(- x)}^{5} + 3 {(- x)}^{4} - 2 {(- x)}^{3} + 2 {(- x)}^{2} - (- x) - 1$

Passaggio 4.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $6$ .

$f (- x) = 5 (1 x^{6}) + 4 {(- x)}^{5} + 3 {(- x)}^{4} - 2 {(- x)}^{3} + 2 {(- x)}^{2} - (- x) - 1$

Passaggio 4.3

Moltiplica $x^{6}$ per $1$ .

$f (- x) = 5 x^{6} + 4 {(- x)}^{5} + 3 {(- x)}^{4} - 2 {(- x)}^{3} + 2 {(- x)}^{2} - (- x) - 1$

Passaggio 4.4

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = 5 x^{6} + 4 ({(- 1)}^{5} x^{5}) + 3 {(- x)}^{4} - 2 {(- x)}^{3} + 2 {(- x)}^{2} - (- x) - 1$

Passaggio 4.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$f (- x) = 5 x^{6} + 4 (- x^{5}) + 3 {(- x)}^{4} - 2 {(- x)}^{3} + 2 {(- x)}^{2} - (- x) - 1$

Passaggio 4.6

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (- x) = 5 x^{6} - 4 x^{5} + 3 {(- x)}^{4} - 2 {(- x)}^{3} + 2 {(- x)}^{2} - (- x) - 1$

Passaggio 4.7

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = 5 x^{6} - 4 x^{5} + 3 ({(- 1)}^{4} x^{4}) - 2 {(- x)}^{3} + 2 {(- x)}^{2} - (- x) - 1$

Passaggio 4.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- x) = 5 x^{6} - 4 x^{5} + 3 (1 x^{4}) - 2 {(- x)}^{3} + 2 {(- x)}^{2} - (- x) - 1$

Passaggio 4.9

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$f (- x) = 5 x^{6} - 4 x^{5} + 3 x^{4} - 2 {(- x)}^{3} + 2 {(- x)}^{2} - (- x) - 1$

Passaggio 4.10

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = 5 x^{6} - 4 x^{5} + 3 x^{4} - 2 ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 2 {(- x)}^{2} - (- x) - 1$

Passaggio 4.11

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- x) = 5 x^{6} - 4 x^{5} + 3 x^{4} - 2 (- x^{3}) + 2 {(- x)}^{2} - (- x) - 1$

Passaggio 4.12

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f (- x) = 5 x^{6} - 4 x^{5} + 3 x^{4} + 2 x^{3} + 2 {(- x)}^{2} - (- x) - 1$

Passaggio 4.13

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = 5 x^{6} - 4 x^{5} + 3 x^{4} + 2 x^{3} + 2 ({(- 1)}^{2} x^{2}) - (- x) - 1$

Passaggio 4.14

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- x) = 5 x^{6} - 4 x^{5} + 3 x^{4} + 2 x^{3} + 2 (1 x^{2}) - (- x) - 1$

Passaggio 4.15

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f (- x) = 5 x^{6} - 4 x^{5} + 3 x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{2} - (- x) - 1$

Passaggio 4.16

Moltiplica $- (- x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.16.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- x) = 5 x^{6} - 4 x^{5} + 3 x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 1 x - 1$

Passaggio 4.16.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (- x) = 5 x^{6} - 4 x^{5} + 3 x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{2} + x - 1$

Passaggio 5

Poiché ci sono $3$ cambiamenti di segno dal termine di ordine più alto a quello di ordine più basso, ci sono al massimo $3$ radici negative (Regola di Cartesio). È possibile trovare gli altri numeri possibili di radici negative sottraendo le coppie di radici (ad es. $3 - 2$ ).

Radici negative: $3$ o $1$

Passaggio 6

Il numero di radici positive possibili è $3$ o $1$ e il numero di radici negative possibili è $3$ o $1$ .

Radici positive: $3$ o $1$

Radici negative: $3$ o $1$