Algebra Esempi

$f (x) = x^{5} - 10 x^{4} - x^{3} + 8 x^{2} - x + 5$

Passaggio 1

Per trovare il possibile numero di radici positive, guarda i segni dei coefficienti e conta il numero di volte in cui i coefficienti cambiano da positivo a negativo o viceversa.

$f (x) = x^{5} - 10 x^{4} - x^{3} + 8 x^{2} - x + 5$

Passaggio 2

Poiché ci sono $4$ cambiamenti di segno dal termine di ordine più alto a quello di ordine più basso, ci sono al massimo $4$ radici positive (Regola di Cartesio). È possibile trovare gli altri numeri possibili di radici positive sottraendo le coppie di radici (ad es. $(4 - 2)$ ).

Radici positive: $4$ , $2$ , or $0$

Passaggio 3

Per trovare il possibile numero di radici negative, sostituisci $x$ con $- x$ e ripeti il confronto dei segni.

$f (- x) = {(- x)}^{5} - 10 {(- x)}^{4} - {(- x)}^{3} + 8 {(- x)}^{2} - (- x) + 5$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = {(- 1)}^{5} x^{5} - 10 {(- x)}^{4} - {(- x)}^{3} + 8 {(- x)}^{2} - (- x) + 5$

Passaggio 4.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$f (- x) = - x^{5} - 10 {(- x)}^{4} - {(- x)}^{3} + 8 {(- x)}^{2} - (- x) + 5$

Passaggio 4.3

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = - x^{5} - 10 ({(- 1)}^{4} x^{4}) - {(- x)}^{3} + 8 {(- x)}^{2} - (- x) + 5$

Passaggio 4.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- x) = - x^{5} - 10 (1 x^{4}) - {(- x)}^{3} + 8 {(- x)}^{2} - (- x) + 5$

Passaggio 4.5

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$f (- x) = - x^{5} - 10 x^{4} - {(- x)}^{3} + 8 {(- x)}^{2} - (- x) + 5$

Passaggio 4.6

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = - x^{5} - 10 x^{4} - ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 8 {(- x)}^{2} - (- x) + 5$

Passaggio 4.7

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Sposta ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- x) = - x^{5} - 10 x^{4} + {(- 1)}^{3} \cdot (- 1 x^{3}) + 8 {(- x)}^{2} - (- x) + 5$

Passaggio 4.7.2

Moltiplica ${(- 1)}^{3}$ per $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f (- x) = - x^{5} - 10 x^{4} + {(- 1)}^{3} \cdot ((- 1) x^{3}) + 8 {(- x)}^{2} - (- x) + 5$

Passaggio 4.7.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- x) = - x^{5} - 10 x^{4} + {(- 1)}^{3 + 1} x^{3} + 8 {(- x)}^{2} - (- x) + 5$

Passaggio 4.7.3

Somma $3$ e $1$ .

$f (- x) = - x^{5} - 10 x^{4} + {(- 1)}^{4} x^{3} + 8 {(- x)}^{2} - (- x) + 5$

Passaggio 4.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- x) = - x^{5} - 10 x^{4} + 1 x^{3} + 8 {(- x)}^{2} - (- x) + 5$

Passaggio 4.9

Moltiplica $x^{3}$ per $1$ .

$f (- x) = - x^{5} - 10 x^{4} + x^{3} + 8 {(- x)}^{2} - (- x) + 5$

Passaggio 4.10

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = - x^{5} - 10 x^{4} + x^{3} + 8 ({(- 1)}^{2} x^{2}) - (- x) + 5$

Passaggio 4.11

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- x) = - x^{5} - 10 x^{4} + x^{3} + 8 (1 x^{2}) - (- x) + 5$

Passaggio 4.12

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f (- x) = - x^{5} - 10 x^{4} + x^{3} + 8 x^{2} - (- x) + 5$

Passaggio 4.13

Moltiplica $- (- x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.13.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- x) = - x^{5} - 10 x^{4} + x^{3} + 8 x^{2} + 1 x + 5$

Passaggio 4.13.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (- x) = - x^{5} - 10 x^{4} + x^{3} + 8 x^{2} + x + 5$

Passaggio 5

Poiché c'è $1$ cambiamento di segno dal termine di ordine più alto a quello di ordine più basso, c'è al massimo $1$ radice negativa (regola di Cartesio).

Radici negative: $1$

Passaggio 6

Il numero di radici positive possibili è $4$ , $2$ , or $0$ e il numero di radici negative possibili è $1$ .

Radici positive: $4$ , $2$ , or $0$

Radici negative: $1$